第5章 第4讲 复 数-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教B版）

数　学 第五章　平面向量、复数 第4讲　复　数 ⁠ 1.理解复数的基本概念和复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义，能进行复数代数形式的四则运算. 3.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. ⁠ [对应学生用书P108] 1.复数的有关概念 （1）定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数.复数一般用小写字母z表示，即⁠⁠　z＝a＋bi　⁠（a，b∈R），其中a称为z的⁠⁠　实部　⁠，⁠⁠　b　⁠称为z的虚部. z＝a＋bi　 实部　 b　 （2）分类： 满足条件（a，b为实数） 复数的分类 a＋bi为实数⇔⁠⁠　b＝0　⁠ a＋bi为虚数⇔⁠⁠　b≠0　⁠ a＋bi为纯虚数⇔⁠⁠　a＝0且b≠0　⁠ b＝0　 b≠0　 a＝0且b≠0　 （3）复数相等：a＋bi＝c＋di⇔⁠⁠　a＝c且b＝d　⁠（a，b，c，d∈R）. （4）共轭复数：如果两个复数的实部⁠⁠　相等　⁠，而虚部⁠⁠　互为相反数　⁠，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用⁠⁠　　⁠表示. （5）复数的模：向量＝（a，b）的长度称为复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模（或绝对值），复数z的模用｜z｜表示，因此｜z｜＝⁠⁠　　⁠.当b＝0时，｜z｜＝＝⁠⁠　｜a｜　⁠. a＝c且b＝d　 相等　 互为相反数　 　 　 ｜a｜　 2.复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点⁠⁠　Z（a，b）　⁠及平面向量＝（a，b）（a，b∈R）是一一对应关系. 3.复数的运算 （1）运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. Z（a，b）　 　 (a±c)+(b±d)i 　 (ac-bd)+(bc+ad)i 　 ( 　 +i 　 （2）几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－. （3）由复数加、减法的几何意义可得⁠⁠　｜｜z1｜－｜z2｜｜　⁠≤｜z1±z2｜≤⁠⁠　｜z1｜＋｜z2｜　⁠. ｜｜z1｜－｜z2｜｜　 ｜z1｜＋｜z2｜　 ⁠⁠ 1.i的乘方具有周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 2.（1±i）2＝±2i；＝i；＝－i. 3.复数的模与共轭复数的关系：z·＝｜z｜2＝｜｜2. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）中，虚部为bi.（　　） 答案　（1）×　 （2）复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.（　　） 答案　（2）×　 （3）原点是实轴与虚轴的交点.（　　） 答案　（3）√　 （4）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.（　　） 答案　（4）√ ｜教材衍化｜ 2.（教材改编题）复数z在复平面内对应的点为，则＝（　　） A.1＋2i B.－1－2i C.1－2i D.2＋i 解析　∵z对应的点为，∴z＝－1＋2i， ∴＝＝＝＝－1－2i. 答案　B 3.（教材改编题）在复平面内，复数ω＝－＋i对应的向量为，复数ω2对应的向量为，那么向量对应的复数是 （　　） A.1 B.－1 C.i D.－i 解析　＝－＝ω2－ω＝－＝－－i＋－i＝ －i，故选D. 答案　D ｜易错自纠｜ 4.（不理解共轭复数的概念致错）若复数z满足zi＝2－3i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数为（　　） A.－3－2i B.－3＋2i C.2＋3i D.3－2i 解析　zi＝2－3i，则z＝＝－3－2i，故复数z的共轭复数为－3＋2i. 答案　B 5.（忽视纯虚数的概念致错）若复数z＝＋i是纯虚数，则实数m＝ 　　　　⁠.  解析　由题意，解得m＝2. 答案　2 ⁠ [对应学生用书P109] 考点1　复数的有关概念（题组通关） 1.（2022·全国乙卷）已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则（　　） A.a＝1，b＝－2 B.a＝－1，b＝2 C.a＝1，b＝2 D.a＝－1，b＝－2 解析　＝1＋2i，z＋a＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝（1＋a＋b）＋（2a－2）i， 由z＋a＋b＝0，得即 答案　A 2.（2023·甘肃兰州·一模）设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a＝ （　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 解析　复数＝＋i，因为复数是纯虚数， 所以解得a＝1，故选C. 答案　C 3.（2022·山东青岛·二模）复数（i是虚数单位）的虚部是 （　　） A.1 B.－i C.2 D.－2i 解析　由题意可知，＝＝＝－1＋i，所以复数的虚部为1. 答案　A 4.