第5章 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教B版）

数　学 第五章　平面向量、复数 第2讲　平面向量基本定理及坐标表示 ⁠ 1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. ⁠ [对应学生用书P101] 1.平面向量基本定理 （1）平面向量的基底 平面内⁠⁠　不共线　⁠的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底，记为{a，b}，此时如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的⁠⁠　分解式　⁠. 不共线　 分解式　 （2）平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在⁠⁠　唯一　⁠的实数对（x，y），使得c＝xa＋yb. 唯一　 2.平面向量的坐标 一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称⁠⁠　（x，y）　⁠为向量a的坐标，记作a＝（x，y）. （x，y）　 3.平面向量的坐标运算 （1）平面向量线性运算的坐标表示 假设平面上两个向量a，b满足a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a±b＝⁠⁠　（x1±x2，y1±y2）　⁠，λa＝⁠⁠　（λx1，λy1）　⁠（λ∈R），ua±vb＝⁠⁠　（ux1±vx2，uy1±vy2）　⁠（u，v∈R）. （x1±x2，y1±y2）　 （λx1，λy1）　 （ux1±vx2，uy1±vy2）　 （2）向量模的坐标计算公式 若向量a＝（x，y），则｜a｜＝⁠⁠　　⁠. （3）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 　 ②设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则＝⁠⁠　（x2－x1，y2－y1）　⁠， ｜｜＝⁠⁠　 　⁠. （x2－x1，y2－y1）　 　 4.向量平行的坐标表示 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b⇔⁠⁠　x2y1＝x1y2　⁠. x2y1＝x1y2　 ⁠⁠ 1.设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. 2.已知△ABC的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的重心G的坐标为. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.（　　） 答案　（1）×　 （2）若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.（　　） 答案　（2）√　 （3）平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.（　　） 答案　（3）√ ｜教材衍化｜ 2.（教材改编题）已知向量a＝，b＝，且a∥b，则m＝（　　） A.－ B. C.－ D. 解析　因为向量a＝，b＝，且a∥b，则2m＝1×，所以m＝－. 答案　A 3.（教材改编题）设点A（2，0），B（4，2），若点P在直线AB上，且＝2，则点P的坐标为（　　） A.（3，1） B.（1，－1） C.（3，－1）或（－1，1） D.（3，1）或（1，－1） 解析　∵A（2，0），B（4，2），∴＝（2，2）. ∵点P在直线AB上，且｜｜＝2｜｜，∴＝2或＝－2， 故＝（1，1）或＝（－1，－1），故点P的坐标为（3，1）或（1，－1），故选D. 答案　D ｜易错自纠｜ 4.（向量坐标不清致误）若向量＝，＝，则＝（　　） A. B. C. D. 解析　因为向量＝，＝，所以＝＋＝，故选B. 答案　B 5.（平面向量基本定理应用不清致误）如图所示，在△OAB中，C是AB中点，设＝a，＝b，则＝ 　　　　⁠.（请用a，b表示）  解析　因为C是AB中点，所以＝＋＝＋. 又因为＝－，所以＝＋（－）＝＋，即＝（a＋b）. 答案　（a＋b） ⁠ [对应学生用书P102] 考点1　平面向量基本定理的应用（师生共研） [例1]（1）（2022·新高考Ⅰ卷T3）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝ （　　） A.3m－2n B.－2m＋3n C.3m＋2n D.2m＋3n 解析　因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2， 所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n. 答案　B （2）（2023·河南商丘·三模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若＝x＋y，则3x＋y＝（　　） A.－1 B.－ C.－ D.－ 解析　连接DE， 由题意可知，＝＝，所以DE∥AC，则＝＝， 所以＝＝，所以＝－，＝－＝－， 则＝＝－， 故＝＋＝－＋－＝－＋. 又＝x＋y，所以x＝－，