第5章 第1讲 平面向量的概念及线性运算-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教B版）

数　学 第五章　平面向量、复数 第1讲　平面向量的概念及线性运算 ⁠ 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. [对应学生用书P98] 1.向量的有关概念 （1）向量：既有⁠⁠　大小　⁠又有⁠⁠　方向　⁠的量称为向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小称为向量的⁠⁠　模　⁠（或长度），记作⁠⁠　｜｜　⁠. 大小　 方向　 模　 ｜｜　 （2）零向量：始点和终点相同的向量称为零向量. （3）单位向量：模等于⁠⁠　1　⁠的向量称为单位向量. （4）平行向量（共线向量）：如果两个非零向量的方向⁠⁠　相同或者相反　⁠，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量⁠⁠　平行　⁠. （5）相等向量：大小⁠⁠　相等　⁠、方向⁠⁠　相同　⁠的向量. 1　 相同或者相反　 平行　 相等　 相同　 （6）相反向量：大小⁠⁠　相等　⁠、方向⁠⁠　相反　⁠的向量. 相等　 相反　 2.向量的线性运算 向量运算 定　义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 ⁠ （1）交换律： a＋b＝⁠⁠　b＋a　⁠； （2）结合律： （a＋b）＋c＝⁠⁠　a＋（b＋c）　⁠ b＋ a　 a＋（b ＋c）　 向量运算 定　义 法则（或几何意义） 运算律 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 ⁠ a－b＝a＋（－b） 向量运算 定　义 法则（或几何意义） 运算律 数乘 求实数λ与向量a相乘的运算 （1）当λ≠0且a≠0时，λa的模为⁠⁠　｜λ｜｜a｜　⁠，而且λa的方向如下： ①当λ＞0时，与a的方向⁠⁠　相同　⁠； ②当λ＜0时，与a的方向⁠⁠　相反　⁠. （2）当λ＝0或a＝0时，λa＝⁠⁠　0　⁠ λ（μa）＝⁠⁠　（λμ）a　⁠； （λ＋μ）a＝⁠⁠　λa＋μa　⁠； λ（a＋b）＝⁠⁠　λa＋λb　⁠ ｜λ｜｜a｜　 相同　 相反　 0　 （λμ）a　 λa＋μa　 λa＋λb　 4.向量模的不等式 向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式 ｜｜a｜－｜b｜｜⁠⁠　≤　⁠｜a±b｜⁠⁠　≤　⁠｜a｜＋｜b｜. ≤　 ≤　 3.共线向量定理 如果存在唯一的实数λ，使得b＝λa（a≠0），则b⁠⁠∥　⁠a. ∥　 ⁠⁠ 1.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝（＋）. 2.若G为△ABC的重心，则有 （1）＋＋＝0；（2）＝（＋）. 3.＝λ＋μ（λ，μ为实数），若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）｜a｜与｜b｜是否相等和a，b的方向无关.（　　） 答案　（1）√　 （2）若a∥b，b∥c，则a∥c.（　　） 答案　（2）×　 （3）向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.（　　） 答案　（3）×　 （4）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立. （　　） 答案　（4）√ ｜教材衍化｜ 2.（教材改编题）化简：＋－＝（　　） A. B. C. D. 解析　＋－＝－＝＋＝. 答案　A 3.（教材改编题）在△ABC中，点D为AB的中点，记＝m，＝n，则＝（　　） A.m＋n B.m－n C.m＋n D.m－n 解析　因为点D为AB的中点，＝m，＝n， 所以＝＋＝＋＝＋＝＋＝m＋n. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.（向量概念理解不准确致误）下面命题中，正确的是（　　） A.若＝，则a＝b B.若＞，则a＞b C.若a＝－b，则a∥b D.若＝0，则a＝0 解析　对于A，若＝，但两向量方向不确定，则a＝b不一定成立，故选项A错误； 对于B，向量无法比较大小，故选项B错误； 对于C，若a＝－b，则两向量反向，因此a∥b，故选项C正确； 对于D，若＝0，则a＝0，故选项D错误. 答案　C 5.（不理解共线向量的概念致错）已知a，b是平面内两个不共线向量，＝ma＋2b，＝3a－b，A，B，C三点共线，则m＝（　　） A.－ B. C.－6 D.6 解析　因为A，B，C三点共线， 所以，共线.又a，b是平面内两个不共线向量， 所以可设＝λ.因为＝ma＋2b，＝3a－b， 所以ma＋2b＝λ，所以m＝3λ，λ＝－2，所以m＝－6，故选C. 答案　C ⁠ [对应学生用书P99] 考点1　平面向量的概念（题组通关） 1.（多选）下列命题中正确的有 （　　） A.平行向量就是共线向量 B.相反向量就是方向相反的向量 C.a与b同向，且｜a｜＞｜b｜，则a＞b D.两个向量平行是这两个向量相等