第1章 第5讲 二次函数与一元二次方程、不等式-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教B版）

数　学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第5讲　二次函数与一元二次方程、不等式 ⁠ 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义. 3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. ⁠ [对应学生用书P15] 1.绝对值不等式的解法 （1）含绝对值的不等式｜x｜＜a与｜x｜＞a的解集 不等式 a＞0 a＝0 a＜0 ｜x｜＜a ⁠⁠　（－a，a）　⁠ ⌀ ⌀ ｜x｜＞a （－∞，－a）∪（a，＋∞） （－∞，0）∪（0，＋∞） R （－a，a）　 （2）｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 ①｜ax＋b｜≤c⇔⁠⁠　－c≤ax＋b≤c　⁠； －c≤ax＋b≤c　 ②｜ax＋b｜≥c⇔⁠⁠　ax＋b≥c或ax＋b≤－c　⁠. （3）｜x－a｜＋｜x－b｜≥c（c＞0）和｜x－a｜＋｜x－b｜≤c（c＞0）型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. ax＋b≥c或ax＋b≤－c　 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象 ⁠ ⁠ ⁠ 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两个相异实根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 ⁠⁠　 　⁠ ⁠⁠　⁠ ⁠⁠　R　⁠ ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 ⁠⁠　{x｜x1＜x＜x2}　⁠ ⁠⁠　⌀　⁠ ⁠⁠　⌀　⁠ R　 {x｜x1＜x＜x2}　 ⌀　 ⌀　 3.一般地，如果x1＜x2，则不等式（x－x1）（x－x2）＜0的解集是⁠⁠　（x1，x2⁠，不等式（x－x1）（x－x2）＞0的解集是⁠⁠　（－∞，x1）∪（x2，＋∞）　⁠. 4.分式不等式及其解法 （1）＞0（＜0）⇔⁠⁠　f（x）·g（x）＞0（＜0）　⁠. （2）≥0（≤0）⇔⁠⁠　f（x）·g（x）≥0（≤0）且g（x）≠0　⁠. （x1， x2）　 （－∞，x1）∪（x2，＋∞）　 f（x）·g（x）＞0（＜0）　 f（x）·g（x）≥0（≤0）且g（x）≠0　 ⁠⁠ 1.解不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）时，不要忘记当a＝0时的情形. 2.不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. （1）不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔或 （2）不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔或 ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）若不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集为（x1，x2），则必有a＞0.（　　） 答案　（1）√　 （2）若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.（　　） 答案　（2）×　 （3）不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.（　　） 答案　（3）×　 （4）若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集. （　　） 答案　（4）√ ｜教材衍化｜ 2.（教材改编题）已知集合A＝，B＝，则A∩B（　　） A. B. C. D. 解析　由题意，得B＝＝{x｜1＜x＜5}，∴A∩B＝，故选D. 答案　D 3.（教材改编题）设m＋n＞0，则关于x的不等式（m－x）·（n＋x）＞0的解集是（　　） A.{x｜x＜－n或x＞m} B.{x｜－n＜x＜m} C.{x｜x＜－m或x＞n} D.{x｜－m＜x＜n} 解析　不等式变形为（x－m）（x＋n）＜0，方程（x－m）（x＋n）＝0的两根为m，－n，显然由m＋n＞0，得m＞－n，所以不等式的解为－n＜x＜m. 答案　B ｜易错自纠｜ 4.（忽略等号能否成立致误）不等式≥1的解集为 　　　　⁠.  解析　由≥1，得－1≥0，即≥0， 解得x≥1或x＜－2，所以原不等式的解集为{x｜x≥1或x＜－2}. 答案　{x｜x≥1或x＜－2} 5.（忽视二次项系数为0致误）命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0恒成立.若命题p为真，则a的取值范围为 　　　　　　⁠.  解析　当a＝0时，对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0恒成立； 当a≠0时，y＝ax2＋ax＋1是二次函数，此时，y＞0等价于解得综上，0≤a＜4. 答案　[0，4