专题18 概率与统计的综合应用-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版）

专题18 概率与统计的综合应用 考点一 决策问题 考点二 放回与不放回问题 考点三 体育比赛问题 考点四 中奖问题 考点五 疾病问题 考点六 概率最值问题 考点七 概率与数列递推问题 考点一 决策问题 例1．（2022秋·广东深圳·高三统考阶段练习）随着生活水平的提高和人们对健康生活的重视，越来越多的人加入健身运动中.国家统计局数据显示，2021年有5亿国人经常参加体育锻炼.某健身房从参与健身的会员中随机抽取100人，对其每周参与健身的天数和2021年在该健身房所有消费金额（单位：元）进行统计，得到以下统计表及统计图： 平均每周健身天数 不大于2 3或4 不少于5 人数（男） 20 35 9 人数（女） 10 20 6 若某人平均每周进行健身的天数不少于5，则称其为“健身达人”.健身房规定消费金额不超过1600元的为普通会员，超过1600元但不超过3200元的为银牌会员，超过3200元的为金牌会员. (1)已知金牌会员都是健身达人，从健身达人中随机取2人，求他们均是金牌会员的概率； (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推测性别与是否为“健身达人”有关系？ (3)该健身机构在2021年年底针对这100位消费者举办了一次消费返利活动，现有以下两种方案： 方案一：按分层抽样从普通会员､银牌会员和金牌会员中共抽取25位“幸运之星”，分别给予188元､288元､888元的幸运奖励； 方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：摸奖箱中装有5张形状大小完全一样的卡片，其中3张印跑步机图案､2张印动感单车图案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一张，若摸到动感单车的总数为2，则获得100元奖励，若摸到动感单车的总数为3，则获得200元奖励，其他情况不给予奖励.规定每个普通会员只能参加1次摸奖游戏，每个银牌会员可参加2次摸奖游戏，每个金牌会员可参加3次摸奖游戏（每次摸奖结果相互独立）. 请你比较该健身房采用哪一种方案时，在此次消费返利活动中的支出较少，并说明理由. 附：，其中.临界值表： 【答案】(1) (2)可以认为 (3)采用方案二时，在此次消费返利活动中的支出较少，理由见解析 【分析】（1）根据古典概型公式求解即可. （2）首先根据题意列出列联表，再利用独立性检验求解即可. （3）分别算出两种方案的支出费用，再比较即可得到答案. 【详解】（1）健身达人共9+6=15（人），金牌会员人数有8+4=12（人）.又金牌会员都是健身达人， 故从健身达人中随机抽取2人，他们均是金牌会员的概率为：. （2）由图表可知，非健身达人男性有：20+35=55（人），健身达人男性有：9人； 非健身达人女性有：10+20=30（人），健身达人女性有：6人. 列出列联表如下： 非健身达人 健身达人 总人数 人数（男） 55 9 64 人数（女） 30 6 36 总人数 85 15 100 零假设为：性别与是否为“健身达人”无关 根据列联表中的数据计算可得： 故依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为性别与是否为“健身达人”没有关系. （3）由图可知：普通会员有6+22=28（人），银牌会员有25+35=60（人）， 金牌会员有8+4=12（人）. 方案一：抽取的普通会员､银牌会员与金牌会员分别有（人）， （人），（人）， 故共支出（元）. 方案二：参加一次活动获得奖励的数学期望为：， 故总支出的数学期望为 故采用方案二时，在此次消费返利活动中的支出较少. 例2．（2023·云南·高三校联考阶段练习）昭通苹果种植历史悠久，可追溯到民国十五年（1926年），法国人贾海义从欧洲引入，种植于昆明并传入昭通，昭通苹果主要品种有金帅，红富士等，经过驯化的富士系列苹果在昭阳区种植产量高、口味好、耐贮藏、含糖量高、风味住，有成熟早、甜度好、香味浓、口感脆等特点，昭通苹果开发公司从进入市场的“昭通苹果”中随机抽检100个，利用等级分类标准得到数据如下： 等级 A级 B级 C级 个数 50 40 10 (1)以表中抽检的样本估计全市“昭通苹果”的等级，现从全市上市的“昭通苹果”中随机抽取10个，求取到4个A级品的概率； (2)某超市每天都采购一定量的A级“昭通苹果”，超市记录了20天“昭通苹果”的实际销量，统计结果如下表： 销量（kg） 150 160 170 180 190 200 天数 2 4 5 6 2 1 今年A级“昭通苹果”的采购价为6元/kg，超市以10元/kg的价格卖出．为了保证苹果质量，如果当天不能卖完，就以4元/kg退回供货商．若超市计划一天购进170kg