专题03 平面向量数量积-【备考先锋必刷题】2022-2023学年高一数学下学期期中期末复习（人教A版2019必修第二册）

体系搭建 1．数量积的概念： （1）向量的夹角：如下图，已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉． （2）数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ． （3）数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．数量积的性质： 设e是单位向量，〈a，e〉=θ． （1）e·a=a·e=|a|cosθ． （2）当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=－|a||b|，特别地，a·a=|a|2，或|a|=． （3）a⊥ba·b=0． （4）cosθ=． （5）|a·b|≤|a||b|． 3．运算律： （1）a·b=b·a；（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）；（3）（a+b）·c=a·c+b·c． 4．向量数量积的坐标运算： 设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 （1）a·b=x1x2+y1y2； （2）|a|=； （3）cos〈a，b〉=； （4）a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0． 例题分析 考点1 向量的数量积 【例1】．已知，，． （1）求与的夹角； （2）求． 变式训练 【变1-1】．已知向量与的夹角为120°，且，则在方向上的投影为（　　） A．1 B． C． D． 【变1-2】．已知||＝2||≠0，且关于x的方程x2+||x+•＝0有实根，则向量与的夹角的取值范围是（　　） A．[，π] B．[0，] C．[，] D．[，π] 【变1-3】．设向量，的模分别为1，2，它们的夹角为60°，则向量﹣与的夹角为　　 ． 考点2 向量的数量积与向量垂直的关系 【例2】．已知⊥，且||＝2，||＝1，若对两个不同时为零的实数k、t，使得+（t﹣3）与﹣k+t垂直，试求k的最小值． 变式训练 【变2-1】．点P为△ABC所在平面内一点，当取最小值时，点P为△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变2-2】．若非零向量，满足，且，则与的夹角为（　　） A． B． C． D．π 【变2-3】．已知向量，满足，，向量是与同向的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 考点3 平面向量数量积的坐标表示 【例3】．设t，k∈R，已知，，，． （Ⅰ）若t＝1，且，求k的值； （Ⅱ）若，求证：k≤2． 变式训练 【变3-1】．平面向量，已知＝（4，3），＝（3，18），则夹角的余弦值等于（　　） A． B． C． D． 【变3-2】．已知向量，　 　． 【变3-3】．已知向量．若向量与的夹角为锐角，则实数k的取值范围为　 　． 考点4 平面向量垂直的坐标表示 【例4】．设平面向量＝（cosα，sinα）（0≤a≤2π），＝（﹣），且与不共线． （1）求证：向量+与﹣与垂直； （2）若两个向量+与﹣的模相等，求角α． 变式训练 【变4-1】．已知＝（﹣3，2），＝（﹣1，0），向量λ+与﹣2垂直，则实数λ的值为（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【变4-2】．已知，，是同一平面内的三个向量，其中． （Ⅰ）若，，两两的夹角相等，且，，求； （Ⅱ）若，且与垂直，求与的夹角θ． 【变4-3】．已知，，，在上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 实战演练 1．设平面向量，，若，则等于（　　） A． B． C． D． 2．设空间两个单位向量＝（m，n，0），＝（0，n，p）与向量＝（1，1，1）的夹角的余弦值为，则〈〉＝（　　） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则cos2θ＝（　　） A． B． C． D． 4．已知平面向量，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．与的夹角为钝角 D．与垂直 5．已知向量，，且，则为（　　） A． B． C． D． 6．平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，，点P在边CD上，则的取值范围是（　　） A．[﹣1，8] B． C． D．[﹣2，0] 7．已知非零向量，满足，且，则△ABC为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 （多选）8．正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（　　） A．λ最大值为 B．μ最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 （多选）9．把一条线段分为两部分，使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值是无理数，由于