专题01 平面向量的概念及线性运算-【备考先锋必刷题】2022-2023学年高一数学下学期期中期末复习（人教A版2019必修第二册）

体系搭建 1、 平面向量的概念： 1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等． 平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作． a A B 图7－2 2、向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a, 的模依次记作，． 3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． 4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量． 5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 规定：0与任一向量平行． 6、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． 7、相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量． 2、 平面向量的基本运算： 一般地，a＋b叫做a, b的一个线性组合（其中,均为系数）．如果l ＝a＋ b，则称l可以用a，b线性表示． 向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算． 1、 三角形法则： 位移叫做位移与位移的和，记作=+． 图7－3 A C B a b a+b a b 一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图7－3)，依次作=a, =b，则向量叫做向量a与向量b的和，记作a＋b ，即 a＋b =＋= （7．1） 求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则． 2、平行四边形法则：如图7－4所示， ABCD为平行四边形，由于=，根据三角形法则得 ＋=＋= 图7－4 A D C B 这说明，在平行四边形ABCD中， 所表示的向量就是与的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则． 平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质： （1）a＋0 = 0＋a = a； a＋（−a）= 0； （2）a＋b=b＋a； （3）（a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）． 3、平面向量减法法则： 与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即 a −b = a＋(−b)． 设a，b ，则 ． 即 = （7．2） 观察图7－5可以得到：起点相同的两个向量a、 b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点． a A a-b B b O 图7－5 一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为 （7．3） 若0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反． 由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有 （7．4） 一般地，有 0a= 0, 0 = 0 ．　　　　 数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数，向量数乘 运算满足如下的法则： 例题分析 考点1 平面向量的概念 【例1】．下列说法正确的是（　　） A．若||＝||，则、的长度相等且方向相同或相反 B．若向量、满足||＞||，且与同向，则＞ C．若≠，则与可能是共线向量 D．若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线 变式训练 【变1-1】．已知为非零向量，集合A＝{与共线的向量}，B＝{与长度相等的向量}，C＝{与长度相等，方向相反的向量}，则下列命题为假命题的是（　　） A．C⊆A B．C⊆B C．A⋂B＝{} D．A⋂B⊇{} 【变1-2】．如图是3×4的格点图（每个小方格都是单位正方形）．若所有向量的起点和终点都在4方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有 　 　个． 【变1-3】．如图的方格纸由若干个边长