专题13 立体几何中有关异面直线夹角、线面角、二面角的计算问题-【备考先锋必刷题】2022-2023学年高一数学下学期期中期末复习（人教A版2019必修第二册）

立体几何中有关异面直线夹角、线面角、二面角的计算问题 专 题 体系搭建 （一）异面直线所成的角 定义：已知，是两条异面直线，经过空间任意一点作直线，我们把直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线，所成的角． (1)异面直线所成的角与点的位置无关． (2)如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直，记作． (3)异面直线所成角的范围是． 求异面直线所成角的步骤： （1）恰当选点，由平移构造出一个交角； （2）证平行关系成立； （3）把角放入三角形或其它平面图形中求出； （4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角． （二）、直线与平面所成的角 1．直线与平面所成角的定义 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 要点诠释： (1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线. (2)直线与平面垂直时射影是点. (3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上. 2．直线与平面所成的角的范围： 直线和平面相交 不垂直时，0°＜＜90° 垂直时，=90° 直线和平面平行或直线在平面内，=0°。． 直线和平面所成角的范围是0°≤≤90°． 3．求斜线与平面所成角的一般步骤： (1)确定斜线与平面的交点即斜足； (2)经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影； (3)解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角． （三）、二面角 1.二面角定义 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或. 2.二面角的平面角 (1) 二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角. (2)二面角的平面角的范围：0°≤≤180°．当两个半平面重合时，=0°；当两个半平面相交时，0°＜＜180°；当两个半平面合成一个平面时，=180°． 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. (3) 二面角与平面角的对比 角 二面角 图形 定义 从半面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形 从空间内二直线出发的两个半平面所组成的图形 表示法 由射线、点（顶点）、射线构成， 表示为∠AOB 由半平面、线（棱）、半平面构成，表示为二面角 (4) 二面角的平面角的确定方法 方法1：（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线． 如右图，在二面角的棱a上任取一点O，在平面内过点O作OA⊥a，在平面内过点O作BO⊥a，则∠AOB为二面角的平面角． 方法2：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角． 如下图（左），已知二面角， 过棱上一点O作一平面，使，且，。 ∴，，且⊥OA，⊥OB， ∴∠AOB为二面角的平面角． 方法3：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通常用于求二面角的所有题目，具体步骤：一找，二证，三求． 如上图（右），已知二面角A-BC-D，求作其平面角． 过点A作AE⊥平面BCD于E，过E在平面BCD中作EF⊥BC于F，连接AF． ∵AE⊥平面BCD，BC平面BCD，∴AE⊥BC． 又EF⊥BC，AE∩EF=E， ∴BC⊥平面AEF，∴BC⊥AF 由垂面法可知，∠AFE为二面角A-BC-D的平面角。 例题分析 考点1 异面直线夹角问题 【例1】．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，AA1＝4，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 变式训练 【变1-1】．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线A1D和MN所成的角为（　　） A．30° B．45° C．90° D．60