专题12 点、直线、平面之间位置关系的综合问题-【备考先锋必刷题】2022-2023学年高一数学下学期期中期末复习（人教A版2019必修第二册）

点、直线、平面之间位置关系的综合问题 专 题 体系搭建 要点一：平面基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．作用：是判定直线是否在平面内的依据． 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：提供确定平面最基本的依据． 公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．作用：是判定两个平面交线位置的依据． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：是判定空间直线之间平行的依据． 要点二：空间的平行与垂直关系 （1）空间中的平行关系 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行． 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行． （2）空间中的垂直关系 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直． 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示． 要点三、直线与平面所成的角 1．直线与平面所成角的定义 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 要点诠释： (1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线. (2)直线与平面垂直时射影是点. (3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上. 2．直线与平面所成的角的范围： 直线和平面相交 不垂直时，0°＜＜90° 垂直时，=90° 直线和平面平行或直线在平面内，=0°。． 直线和平面所成角的范围是0°≤≤90°． 3．求斜线与平面所成角的一般步骤： (1)确定斜线与平面的交点即斜足； (2)经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影； (3)解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角． 要点四、二面角 1.二面角定义 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或. 2.二面角的平面角 (1) 二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角. (2)二面角的平面角的范围：0°≤≤180°．当两个半平面重合时，=0°；当两个半平面相交时，0°＜＜180°；当两个半平面合成一个平面时，=180°． 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. (3) 二面角与平面角的对比 角 二面角 图形 定义 从半面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形 从空间内二直线出发的两个半平面所组成的图形 表示法 由射线、点（顶点）、射线构成， 表示为∠AOB 由半平面、线（棱）、半平面构成，表示为二面角 (4) 二面角的平面角的确定方法 方法1：（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线． 如右图，在二面角的棱a上任取一点O，在平面内过点O作OA⊥a，在平面内过点O作BO⊥a，则∠AOB为二面角的平面角． 方法2：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角． 如下图（左），已知二面角， 过棱上一点O作一平面，使，且，。 ∴，，且⊥OA，⊥OB， ∴∠AOB为二面角的平面角． 方法3：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角