专题07 复数及其运算-【备考先锋必刷题】2022-2023学年高一数学下学期期中期末复习（人教A版2019必修第二册）

体系搭建 一、复数的有关概念 1.虚数单位: （1）它的平方等于，即； （2）与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立； （4）的周期性：，，，（）. 2. 概念 形如（）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。 说明：这里容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。 3.复数集 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示；复数集与其它数集之间的关系： 4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系： 对于复数（）， 当且仅当时，复数是实数； 当且仅当时，复数叫做虚数； 当且仅当且时，复数叫做纯虚数； 当且仅当时，复数就是实数0. 所以复数的分类如下: 　　（） 5.复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即： 如果，那么. 特别地: . 应当理解: （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样. （2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础. 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。　 6.共轭复数： 两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即： 复数和（）互为共轭复数。 二、复数的代数表示法及其四则运算 1.复数的代数形式: 复数通常用字母表示，即（），把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。 2.四则运算 ； ； 复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：。 三、复数的几何意义 1. 复平面、实轴、虚轴： 点的横坐标是，纵坐标是，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。 实轴上的点都表示实数。 对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 2.复数的几何表示 （1）坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； （2）向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作.即. 3.复数加法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量。 4.复数减法的几何意义： 两个复数的差与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。 例题分析 考点1 复数的概念 【例1】．已知复数z＝m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i；当实数m取什么值时，复数z是： （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 （4）零． 变式训练 【变1-1】（多选）．已知复数，则（　　） A．复数z的实部为 B．复数z的虚部为 C．复数z的模为 D．复数z的共轭复数为 【变1-2】．以2i﹣的虚部为实部，以i﹣2的实部为虚部的新复数是（　　） A．2+i B．2﹣2i C．﹣+i D．+i 【变1-3】．欧拉公式eix＝cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为 　　 ． 考点2 复数相等问题 【例2】．已知复数z1＝a+2i，，a∈R，若z1＝z2，则a＝（　　） A．2 B．3 C．﹣3 D．9 变式训练 【变2-1】．若z1＝﹣3﹣4i，z2＝（n2﹣3m﹣1）+（n2﹣m﹣6）i（m，n∈R），且z1＝z2，则m+n＝（　　） A．4或0 B．﹣4或0 C．2或0 D．﹣2或0 【变2-2】．定义运算＝ad﹣bc，如果（x+y）+（x+3）i＝，求实数x，y的值． 【变2-3】．已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值． 考点3 复数的几何意义 【例3】．已知复数z1＝﹣1+2i，z2＝1﹣i，z3＝3﹣2i，它们所对应的点分别是A、B、C，若＝x+y（x、y∈R），则x﹣y的值是　　 变式训练 【变3-1】．在复平面内，复数6+5i，﹣2+3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（　　） A．4+8i B．8+2i C．4+i D．2+4i 【变3-2】．关于x的不等式mx2﹣nx+p＞0（m，n，p∈R）的解集为（﹣1，2），则复数m+p