专题05 向量三大定理及三角形四心问题-【备考先锋必刷题】2022-2023学年高一数学下学期期中期末复习（人教A版2019必修第二册）

体系搭建 (－)平面向量共线定理 已知, 若, 则A, B, C三点共线; 反之亦然. (二)等和线 平面内一组基底 及任一向量 , 若点 在直线 A B上或者在平行于AB的直线上,则 (定值),反之也成立,我们把直线 AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. 如图, 则有 . (1)当等和线恰为直线AB时, ; (2) 当等和线在点和直线 AB之间时, ; (3) 当直线 AB在点和等和线之间时, ; (4)当等和线过点时, ; (5)若两等和线关于点对称,则定值k互为相反数. （三）极化恒等式:设、是两个平面向量,则有恒等式 , 在三角形中,也可以用三角形的中线来表示, . 极化恒等式的作用主要在于,它可以将两个向量的数量积转化为这两个 向量之和或之差,因此,当两个向量之和或之差为定值时,常常可以考虑利用 极化恒等式进行转化求解. （四）奔驰定理:若为内任意一点, 有, 则 . 证明: 如图 1, 取点 , 使得 , 则 , 即 为 的重心 . 同理 . 故 , 即证明 （五）三角形“四心”问题. 内心: 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或三角形内切圆的圆心). 垂心: 三角形的垂心是三角形三边上的高的交点. 重心: 三角形的重心是三角形三条中线的交点. (1) 是 的重心： (2) 是 的内心： (3) 是 的外心; (4) 是的垂心: 例题分析 考点1 等和线问题 【例1】.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，则λ+μ的最大值为　 　． 变式训练 【变1-1】.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若＝x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是（　　） A． B．2 C． D．3 【变1-2】.在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝120°，平面ABCD内有一点P，满足AP＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则2λ+μ的最大值为（　　） A． B． C． D． 考点2 极化恒等式问题 【例2】．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则•＝　 　． 变式训练 【变2-1】．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E、F是AD上的两个三等分点，•＝4，•＝﹣1，则•的值是（　　） A．4 B．8 C． D． 【变2-2】．已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB＝8，CD＝6，则•的取值范围是　 　． 考点3 奔驰定理在向量中的应用 【例3】．已知点O在△ABC内部一点，且满足2+3+4＝，则三角形△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为（　　） A．4：2：3 B．2：3：4 C．4：3：2 D．3：4：5 变式训练 【变3-1】．已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是　　 ． 【变3-2】．已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足，设△ABC的面积为S，则△PAB的面积为（　　） A． B． C． D． 考点4 向量与三角形四心的综合 【例4】．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝+λ（+）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 变式训练 【变4-1】．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【变4-2】．如图，O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 实战演练 1．O是平面内的一个定点，A，B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足＝+λ（+），λ∈[0，+∞），则P点所在的直线是△ABC的（　　） A．边 B．中线 C．高 D．角平分线 2．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且，则＝（　　） A． B． C． D． 3．已知O​是平面内一定点，A，B，C​是平面上不共线的三个点，动点P​满足​，则点P​的轨迹一定通过△ABC​的（　　） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4．已知向量满足，若M为AB的中点，并且，则λ+μ的最大值是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在边长为2的正六边形ABC