专题04 平面向量的综合应用-【备考先锋必刷题】2022-2023学年高一数学下学期期中期末复习（人教A版2019必修第二册）

体系搭建 一、向量的有关概念 1．向量： 既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度)． 2．向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：用一条有向线段表示向量．如，等． （3）坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量的起点为在坐标原点，终点A坐标为，则称为的坐标，记为=． 3．相等向量： 长度相等且方向相同的向量．向量可以自由平移，平移前后的向量相等．两向量与相等，记为． 4．零向量： 长度为零的向量叫零向量．零向量只有一个，其方向是任意的． 5．单位向量： 长度等于1个单位的向量．单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量． 6．共线向量： 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量．任一组共线向量都可以移到同一直线上．规定：与任一向量共线． 注：共线向量又称为平行向量． 7．相反向量： 长度相等且方向相反的向量． 二、向量的运算 1．运算定义 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 += = 记=(x1，y1)，=(x2，y2) 则=(x1+x2，y1+y2) =(x2-x1，y2-y1) += 实数与向量的乘积 记=(x，y) 则 两个向量的数量积 记 则=x1x2+y1y2 2．运算律 加法： ①(交换律)； ②(结合律) 实数与向量的乘积： ①； ②；③ 两个向量的数量积： ①·=·； ②()·=·()=(·)；③(+)·=·+· 3．运算性质及重要结论 (1)平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标， 即若A(x，y)，则=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1) (2)两个向量平行的充要条件 符号语言： 坐标语言为：设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0． (3)两个向量垂直的充要条件 符号语言： 坐标语言：设非零向量，则 (4)两个向量数量积的重要性质： ① 即 (求线段的长度)；②(垂直的判断)； ③ (求角度)． 例题分析 考点1 利用向量解决平面几何中的求值或最值问题 【例1】．已知O为坐标原点，向量＝（3cosx，3sinx），＝（3cosx，sinx），＝（，0），x∈（0，）． （1）求证：（﹣）⊥； （2）若△ABC是等腰三角形，求x的值． 变式训练 【变1-1】．满足＜0的△ABC（　　） A．一定为锐角三角形 B．一定为直角三角形 C．一定为钝角三角形 D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形 【变1-2】．点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC的（　　） A．三角形的内心 B．三角形的外心 C．三角形的重心 D．三角形的垂心 【变1-3】（多选）．已知点O为△ABC所在平面内一点，满足，（其中λ，μ∈R）（　　） A．当λ＝μ时，直线OC过边AB的中点 B．若，且λ＝μ＝1，则 C．若λ＝2，μ＝3时，△AOB与△AOC的面积之比为2：3 D．若，且，则λ，μ满足λ2+u2＝1 【变1-4】．已知△ABC中，|AB|＝2，|AC|＝4，∠BAC＝60°，P为线段AC上任意一点，则的范围是　 　． 【变1-5】．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【变1-6】．四边形ABCD中，AB＝4，∠A＝∠B＝60°，∠D＝150°，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D．﹣3 【变1-7】．四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且OB＝2OD，AC＝2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若•＝6，则四边形ABCD的面积为 　　 ． 考点2 向量在物理中的简单应用 【例2】．已知＝（1，0），＝（0，1），一动点P从P0（﹣1，2）开始，沿着与向量的+相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为|+|m/s．另一动点Q从Q0（﹣2，﹣1）开始，沿着与向量3+2相同的方向做匀速直线运动，速度的大小|3+2|m/s，设P，Q