8.6 空间直线、平面的垂直-【三维同步讲练】2022-2023学年高一数学同步精讲系列【知识点·方法·题型】（人教A版2019必修第二册）

8.6 空间直线、平面的垂直 1.掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定方法，能用定义及定理判定空间的垂直关系. 2.理解与掌握二面角的定义及求二面角的常用方法. 3.掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，并能应用性质定理解决与空间垂直关系相关联的问题. 解读：通过本节课的学习，要求能应用空间垂直的判定方法判定空间的垂直关系，并能熟练掌握空间线线、线面、面面垂直关系的转化，并能应用空间垂直关系的性质定理解决空间垂直关系相关的证明、求值、求角等常见问题. 知识点1　 直线与平面垂直★★★ 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足． 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 （1）定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语． （2）直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式． （3）由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线． 知识点2　 直线与平面垂直的判定定理、性质定理★★★ 直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 图形 语言 符号 语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，⇒l⊥α 作用 判断直线与平面垂直 （1）直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可． （2）在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线． 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒ 图形语言 作用 （1）证明两直线平行； （2）构造平行线 【微点拨】直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系． 直线与平面垂直的性质 （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ． 【例题精析1】 已知m，n表示两条不同的直线，表示平面．下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【例题精析2】 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题精析3】 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，为中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． 【例题精析4】 在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，，点M，N分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【例题精析5】 如图，已知正方体的棱长为1，与交于点，求证：平面. 【例题精析6】 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，D是BC的中点，P是C C1的中点，求证： (1)A1B平面A C1D (2)B1P⊥平面A C1D 【例题精析7】 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面. (1)求四棱锥的体积； (2)求证：平面. 【例题精析8】 如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将，分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P，过P作，垂足为H． (1)证明：平面BFDE； (2)若四棱锥的体积为12，求正方形的边长． 【例题精析9】 圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，证明：面 【例题精析10】 如图，三棱柱中，，，，点M，F分别为BC，的中点，点E为AM的中点． (1)证明：； (2)证明：平面； 【对点精练1】 设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【对点精练2】 （多选）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（        ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【对点精练3】 在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确的是___________ ①为的中点  ②与所成的角为③BD⊥平面 ④三棱锥与四棱锥的体积之比等于 【对点精练4】 如图，四边形为正方形，平面，∥， (1)求