第15讲 复数的乘、除运算-2022-2023学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第二册）

第15讲 复数的乘、除运算 知识点1：复数代数形式的乘法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数乘法满足的运算律 (交换律) (结合律) (分配律) 知识点2：复数代数形式的乘方 （1）复数的乘方 复数的乘方就是相同复数的乘积 （2）复数乘方的运算律 根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的，，有： ① ② ③ 知识点3：共轭复数的性质 设，（） ① ②为实数 ③且为纯虚数 ④ ⑤，， 知识点4：复数代数形式的除法运算 （1）定义 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 考点1：复数代数形式的乘法运算 【例1】______. 【分析】 利用复数的乘法运算即可求解. 【详解】 ， 故答案为：. 【例2】已知，是虚数单位，若，，则的值可以是（ ） A． B． C．－ D． 【答案】AB 【分析】根据复数的乘法可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值. 【详解】，则，所以，， 解得.故选：AB. 【例3】计算：___________． 【答案】-1 【分析】转化为求解. 【详解】, 故答案为：-1 1．两个复数代数形式乘法的一般方法 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等． 2．常用公式 （1）(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)； （2）(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； （3）(1±i)2＝±2i. 2．______. 【答案】 【分析】根据复数的运算规则计算. 【详解】根据复数的运算规则得，.故答案为：. 2．若，则满足等式的复数________. 【答案】-1 【分析】 先将化为，进而可得出结果. 【详解】 因为， 所以，即 3．设，求证： （1） （2） （3） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】根据复数代数形式的乘法、乘方运算法则计算可得； 【解析】（1）因为，所以，，所以； （2）因为，所以，所以； （3）因为，所以 即 考点2：复数代数形式的除法运算 【例4】复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数，然后由虚部的定义即可求解. 【详解】因为复数，所以复数的虚部为，故选：A. 【例5】（2022·浙江杭州·高二期末）若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A．2i B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以复数的虚部为. 故选：D 1．两个复数代数形式的除法运算步骤 （1）首先将除式写为分式； （2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； （3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式 （1）＝－i；（2）＝i；（3）＝－i. 【变式训练】 1．已知复数是纯虚数，是实数，则（ ） A．－ B． C．－2 D．2 【答案】B 【详解】 由题意设， 则， 因为是实数，所以，得， 所以， 所以， 故选：B 2．______. 【答案】 【分析】 根据复数的四则运算规则计算即可. 【详解】 根据复数的四则运算规则得， 原式= 故答案为：. 3．______. 【答案】5 【分析】首先利用复数的运算公式化简，再计算复数的模. 【详解】 . 故答案为：5 4．计算：______． 【答案】 【分析】利用复数代数形式的运算，即可得到结果． 【详解】 . 故答案为： 5．（2021·上海普陀·模拟预测）复数（为虚数单位），则__． 【答案】 【详解】 ，则 ， 故答案为：. 考点3：在复数范围内解方程 【例6】方程的解为__________． 【答案】 【分析】直接用求根公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴由求根公式得， 故答案为：． 【例7】　已知关于x的二次方程有实根，为复数.求的模的最小值. 【答案】. 【详解】 设为方程的实根，则 ， 当即时，