重难点02平面向量的实际应用与新定义-【满分全攻略】2022-2023学年高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020必修二）

重难点02平面向量的实际应用与新定义 目录 题型一：用向量证明线段垂直 题型二：用向量解决夹角问题 题型三：用向量解决线段的长度问题 题型四：向量与几何最值 题型五：向量在几何中的其他应用 题型六：向量中的新定义 ( 技巧 方法 ) 1.两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 2.夹角：cos θ＝＝. 3.|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 4.向量线性运算的三要素 向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”. 5.三个常用结论 (1)O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0； (2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则＋＝2； (3)对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1. 注意向量共线与三点共线的区别. 6.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础. 7.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组. 8.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式. 9.计算向量数量积的三种方法 定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用. 10.求向量模的常用方法 利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算. 11.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. ( 能力拓展 ) 题型一：用向量证明线段垂直 一、单选题 1．（2022春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（    ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．（2022春·上海黄浦·高一上海市向明中学校考期末）在中，分别是内角所对的边，若 （其中,且则的形状是 A．有一个角为的等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 二、解答题 3．（2021春·高一单元测试）已知O为的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H． （1）若，，，，试用，、表示； （2）证明：； （3）若，，外接圆的半径为，用表示． 4．（2021春·高一课时练习）如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H． （1）证明：； （2）当点C在BG的什么位置时，最小？ 题型二：用向量解决夹角问题 一、单选题 1．（2021春·上海·高一专题练习）设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2021春·上海·高一专题练习）中，，则一定是 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 二、填空题 3．（2022春·上海普陀·高一校考期末）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是______． 4．（2022春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）已知，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 _______________． 三、解答题 5．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）如图，在中，，．点D在边BC上，且． (1)，，求； (2)，AD恰为BC边上的高，求角A； (3)，求t的取值范围． 6．（2021春·上海·高一专题练习）已知△顶点为直角坐标分别为，，．若虚数（）是实系数一元二次方程的根，且是钝角，求的取值范围． 7．（2021春·上海·高一专题练习）已知，，向量与向量的夹角为，设向量，向量． （1）求的值； （2）设，求的表达式；若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 8．（2021春·上海·高一专题练习）在中，满足：，M是的中点. （1）若，求向量与向量的夹角的余弦值； （2）若O是线段上任意一点，且，求的最小值： （3）若点P是内一点，且，，，求的最小值. 9．（2021春·上海·高一专题练习）已知，，是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 题型三：用向量解决线段的长度问题 一、单选题 1．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）若,且,则四边形是 A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形 2．（2021春·高一单元测试）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2021春·高一课时练习）在中，是的