第二章 第二节 函数的单调性与最值-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第二节　函数的单调性与最值 ★[考试要求] 1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用． 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有　f(x1)<f(x2)　，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 当x1<x2时，都有　f(x1)>f(x2)　，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上　单调递增　或　单调递减　，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有　f(x)≤M　； (2)∃x0∈I，使得　f(x0)＝M　 (1)∀x∈I，都有　f(x)≥M　； (2)∃x0∈I，使得　f(x0)＝M　 结论 M为最大值 M为最小值 1．∀x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若f(x)的定义域为R，且f(－3)<f(2)，则f(x)为R上的增函数．(　　) (2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．(　　) (3)因为y＝x与y＝ex都是增函数，所以y＝xex在定义域内为增函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．(多选)下列函数中满足“对任意x1，x2∈，且x1≠x2，都有>0”的是(　　) A．f(x)＝－3x＋1　　　 B．f(x)＝－ C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x－ 解析：BCD　[函数f(x)满足“对任意x1，x2∈，且x1≠x2，都有>0”，则有函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上单调递减，A不是；函数f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，B是；函数f(x)＝x2＋4x＋3在(0，＋∞)上单调递增，C是；函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增，D是．故选BCD.] 3．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则(　　) A．m> B．m< C．m>－ D．m<－ 解析：B　[要使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<.] 4．函数y＝在[2,3]上的最大值是　________　. 解析：该函数在[2,3]上单调递减，故当x＝2时，函数取得最大值，最大值为2. 答案：2 　　　确定函数的单调性 ►[角度1]　函数的单调性的理解　 [例1]　(多选)(2023·承德联考)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　) A. >0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D. >0 [解析]　ABD　[因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1<x2，则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)．故选ABD.] ►[角度2]　判断或证明函数的单调性　 [例2]　讨论函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)内的单调性． [解]　解法一：设x1，x2是任意两个正数，且0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝·(x1x2－a)．当0<x1<x2≤时，0<x1x2<a.又x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以函数f(x)在(0，]上是减函数．当≤x1<x2时，x1x2>a.又x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数． 解法二：因为f(x)＝x＋，所以f′(x)＝1－.由f′(x)>0，得1－>0