第一章 第二节 常用逻辑用语-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第二节　常用逻辑用语 ★[考试要求] 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的　充分　条件，q是p的　必要　条件 p是q的　充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的　必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的　充要　条件 p⇔q p是q的　既不充分也不必要　条件 Pq且qp 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“　∀　”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“　∃　”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，使p(x)成立 简记 　∀x∈M，p(x)　 　∃x∈M，p(x)　 否定 　∃x∈M，p(x)　 　∀x∈M，p(x)　 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． ①若p是q的充分条件，则A⊆B； ②若p是q的充分不必要条件，则AB； ③若p是q的必要不充分条件，则BA； ④若p是q的充要条件，则A＝B. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词．(　　) (2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(　　) (3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题．(　　) (4)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(2023·九江二模)已知命题p：∀x≥0, cos x≤ex，则p为(　　 ) A．∀x≥0，cos x＞ex B．∃x＜0，cos x＞ex C．∀x＜0，cos x＞ex D．∃x≥0，cos x＞ex 解析：D　[由否定的定义可知，p为∃x≥0，cos x＞ex.故选D.] 3．(多选)下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是(　　 ) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．一定存在没有最大值的二次函数 解析：AC　[A选项中，“任何”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题；B选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，由于0是自然数，不是正整数，故该命题是假命题；C选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题；D选项中，“存在”是存在量词，它是存在量词命题．故选AC.] 4．(2023·株洲质检一) “x≥a”是“x≥2”的必要不充分条件，则a的取值范围为(　　 ) A．(3，＋∞)　　　　　 B．(－∞，2) C．(－∞，2] D．[0，＋∞) 解析：B　[由题意得，{x|x≥2}是{x|x≥a}的真子集，故a＜2.故选B.] 　　　充分、必要条件的判定 [例1]　(1)(2023·淮北一模) “a＞b＞0”是“＞1”的(　　 ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　B　[由a＞b＞0，得＞1，反之不成立，如a＝－2，b＝－1，满足＞1，但是不满足a＞b＞0， 故“a＞b＞0”是“＞1”的充分不必要条件．故选B.] (2)(2023·华大新高考联盟押题卷)设实数x＞0，则“|log2x|＜1”成立的一个必要不充分条件是(　　 ) A.＜x＜2　　　　 B．1＜x＜2 C．x＜1 D．x＜2 [解析]　D　[由|log2x|＜1，即－1＜log2x＜1，即log2＜log2x＜log22，所以＜x＜2， 即不等式|log2x|＜1的解集为，因为(－∞，2)，所以“|log2x|＜1”成立的一个必要不充分条件可以是x＜2；故选D.] 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：指对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． 1．(1)(2023·福建四地市质检一)已知a∈R，若集合M＝{1，a}，N＝{－1,0,1}，则“M⊆N”是“a＝0”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[若M⊆N，则a＝0或a＝－1，故“M⊆N”推不出“a＝0”， 反之，若a＝0，则M⊆N