第四章 热点强化课3 三角函数中有关ω的范围问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

热点强化课3　三角函数中有关ω的范围问题 ★[考试要求] 在三角函数的图象与性质中，ω 的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，常与单调性、对称性、零点等进行综合考查． 　　　三角函数的单调性与ω的关系 [例1]　(2023·金华模拟)已知函数f(x)＝cos(ω＞0)在上单调递增，且当x∈时，f(x)≥0恒成立，则ω的取值范围为(　　 ) A.∪　　　 B.∪ C.∪ D.∪ [解析]　B　[由函数f(x)＝cos(ω＞0)在上单调递增， 所以2k1π－π≤ωx－≤2k1π(k1∈Z)，解得：－≤x≤＋(k1∈Z)， 由于⊆(k1∈Z)，所以，解得：12k1－4≤ω≤8k1＋(k1∈Z)① 又因为函数f(x)＝cos(ω＞0)在x∈上f(x)≥0恒成立， 所以2k2π－≤ωx－≤2k2π＋(k2∈Z)，解得：－≤x≤＋(k2∈Z)， 由于⊆(k2∈Z)，所以，解得：8k2－≤ω≤6k2＋(k2∈Z)② 又因为ω＞0，当k1＝k2＝0时，由①②可知：，解得ω∈； 当k1＝k2＝1时，由①②可知：，解得ω∈. 所以ω的取值范围为∪.故选B.] 确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围． 1．(多选)已知函数f(x)＝tan(ω＞0)，则下列说法不正确的是(　　 ) A．若f(x)的最小正周期是，则ω＝1 B．当ω＝1时，f(x)图象的对称中心的坐标可以表示为(k∈Z) C．当ω＝时，f(－π)＜f D．若f(x)在区间上单调递增，则0＜ω≤ 解析：BCD　[当f(x)的最小正周期是时，T＝＝，则ω＝1，故A选项正确；当ω＝1时，f(x)＝tan，所以令2x＋＝，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，所以函数f(x)的对称中心的坐标为(k∈Z)，故B选项不正确；当ω＝时，f(x)＝tan，f(－π)＝f(0)＝tan＞f＝tan，故C选项不正确；令－＋kπ＜2ωx＋＜＋kπ，k∈Z，解得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，因为f(x)在区间上单调递增，所以，解得－≤ω≤＋，k∈Z，另一方面T＝≥π－＝，ω≤，所以＋≤(k∈Z)，又因为ω＞0，所以由k＝0，得0＜ω≤，由k＝1，得≤ω≤，所以ω的取值范围是∪，故D选项不正确．故选BCD.] 　　　三角函数的对称性与ω的关系 [例2]　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－是函数f(x)的一个零点，x＝是函数f(x)的一条对称轴，若f(x)在区间上单调，则ω的最大值是(　　 ) A．14　　　B．16　　　　C．18　　　　D．20 [解析]　A　[设函数f(x)的最小正周期为T， 因为x＝－是函数f(x)的一个零点，x＝是函数f(x)的一条对称轴， 则T＝－＝，其中n∈N，所以，T＝＝，∴ω＝4n＋2， 因为函数f(x)在区间上单调，则－≤＝，所以，ω≤20. 所以，ω的可能取值有：2、6、10、14、18. (ⅰ)当ω＝18时，f(x)＝sin(18x＋φ)，f＝sin＝0， 所以，φ－＝kπ(k∈Z)，则φ＝kπ＋(k∈Z)， ∵－≤φ≤，∴φ＝，所以，f(x)＝sin， 当＜x＜时，＜18x＋＜，所以，函数f(x)在上不单调，不合乎题意； (ⅱ)当ω＝14时，f(x)＝sin(14x＋φ)，f＝sin＝0， 所以，φ－＝kπ(k∈Z)，则φ＝kπ＋(k∈Z)， ∵－≤φ≤，∴φ＝－，所以，f(x)＝sin， 当＜x＜时，＜14x－＜，所以，函数f(x)在上单调递减，合乎题意．因此，ω的最大值为14.故选A.] 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω 的不等式组，进而可以研究“ω” 的取值范围． 2．(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f(x)＝sin在上单调，且f＝f＝－f，则ω的取值可能为(　　) A.　　B.　　　C.　　　D. 解析：ACD　[设f(x)的最小正周期为T，则由题意可得≥－，即T≥π.由f(x)在上单调，且f＝－f，得f(x)的一个零点为＝－.因为f＝f，所以有以下三种情况：①T＝－＝，则ω＝＝；②＝－＝，则ω＝＝；③＝，则ω＝＝.故选ACD.] 　　　三角函数的最值与ω的关系 [例3]　已知函数f(x)＝ 2sin的图象过点，且在区间内不存在最值，则ω的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ [解析]　D　[因为函数f(x)＝2sin过点，所以f＝，即2sinφ＝，故sinφ＝，因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝ 2sin，由－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ得－＋≤x≤＋，所以f(x)的