第四章 第五节 三角函数的图象与性质-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第五节　三角函数的图象与性质 ★[考试要求] 1．能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在上的性质． 1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，　(π，0)　，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，　(π，－1)　，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 　[－1,1]　 　[－1,1]　 R 周期性 2π 　2π　 　π　 奇偶性 　奇函数　 　偶函数　 奇函数 递增区间 　[2kπ－π，2kπ]　 递减区间 　[2kπ，2kπ＋π]　 对称中心 　(kπ，0)　 对称轴 方程 x＝kπ＋ 　x＝kπ　 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)． (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　 ) (2)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　 ) (3)函数y＝sin x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．(　　 ) (4)y＝sin|x|与y＝|sin x|都是周期函数．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　 ) A．T＝π，A＝1　　　 B．T＝2π，A＝1 C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2 解析：A　[T＝＝π，A＝2－1＝1，故选A.] 3．(2023·湛江摸底)已知φ∈R，则“φ＝0”是“y＝sin(x＋φ)为奇函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[当φ＝0时，y＝sin(x＋φ)＝sin x为奇函数；当y＝sin(x＋φ)是奇函数时，φ＝kπ，k∈Z，所以“φ＝0”是“y＝sin(x＋φ)为奇函数”的充分不必要条件，故选A.] 4．(多选)函数y＝tan的一个对称中心是(　　 ) A. B. C. D. 解析：AD　[因为f＝tan＝0； f＝tan＝tan＝；f＝tan＝；当x＝时，2×－＝. 所以、是函数y＝tan的对称中心．故选AD.] 5．(2023·汉阳模拟)写出一个图象关于直线x＝2对称且在[0,2]上单调递增的偶函数：f(x)＝　________　. 解析：如f(x)＝－cosx，f(－x)＝－cos＝－cosx＝f(x)，所以f(x)为偶函数，由x＝kπ，k∈Z，得x＝2k，k∈Z，当k＝1时，f(x)＝－cosx的图象关于直线x＝2对称．由x∈[0,2]，得x∈[0，π]，则由余弦函数的性质可知，函数f(x)＝－cosx在[0,2]上单调递增，故符合条件的可以是f(x)＝－cosx. 答案：－cosx(答案不唯一) 　　　三角函数的定义域和值域 [例1]　(1)函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　 ) A. B. C. D. [解析]　D　[由2x＋≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，故函数f(x)的定义域为.故选D.] (2)(2023·邯郸二模)函数f(x)＝sin在上的值域为(　　 ) A．(0,1]　　　　　　　 B. C. D．[－1,1] [解析]　C　[根据正弦型函数的图象和单调性即可求解． 当x∈时，2x＋∈，当2x＋＝时，即x＝时，f(x)＝sin取最大值1，当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)＝sin取值为－，故值域为，故选C.] (1)三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． (2)三角函数值域的求法 ①直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解． ②化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域． ③换元法：把sin x、cos x、sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数求值域． 1．函