第四章 第四节 简单的三角恒等变换-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第四节　简单的三角恒等变换 ★[考试要求] 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝　2sin_αcos_α　. (2)公式C2α：cos 2α＝　cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α　. (3)公式T2α：tan 2α＝. 2．常用的部分三角公式 (1)1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2.(升幂公式) (2)1±sin α＝2.(升幂公式) (3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式) 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)tan ＝＝.(　　) (2)设<θ<3π，且|cos θ|＝，那么sin 的值为.(　　) (3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．(　　) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．sin 15°cos 15°等于(　　 ) A．－　　B.　　　C．－　　　D. 解析：B　[sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.] 3．化简的结果是(　　 ) A．sin 2 B．－cos 2 C.cos 2 D．－cos 2 解析：D　[因为＝，又cos 2<0，所以可得选项D正确．] 4．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α等于(　　 ) A．－ B．2 C．－ D．－ 解析：D　[由tan(π＋2α)＝－，得tan 2α＝－，又tan 2α＝＝－，解得tan α＝－或tan α＝2，又α是第二象限角，所以tan α＝－.] 　　　三角函数式的化简 [例1]　(1)(2023·福建考前适应性考试)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于(　　 ) A.　　B.　　　C.　　　D. [解析]　A　[由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos2α－1)－8cos α＝5，即3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以sin α＝＝＝.] (2)已知0<θ<π，则＝　________　. [解析]　由θ∈(0，π)得0<<，所以cos>0，所以＝＝2cos.又(1＋sinθ＋cosθ)＝＝2cos＝－2coscosθ.故原式＝＝－cosθ. [答案]　－cosθ 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 1．化简：. 解：解法一：原式＝＝＝ ＝1. 解法二：原式＝＝＝＝＝1. 　　　三角函数式的求值 ►[角度1]　给角求值　 [例2]　(1)计算＝_____________________________. [解析]　＝＝＝＝＝2. [答案]　2 (2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝　________　. [解析]　cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－＝－＝－ ＝－＝－＝－. [答案]　－ ►[角度2]　给值求值　 [例3]　(1)(2023·福州质检)已知sin＝，且θ∈，则cos等于(　　 ) A．0 B. C．1 D. [解析]　C　[由sin＝，且θ∈得，θ＝，所以cos＝cos 0＝1.故选C.] (2)(2023·泰州调研四)已知tan2 θ＋tan θ－1＝0，则tan 2θ＝(　　 ) A．2 B. C. D. [解析]　D　[tan θ＝1－tan2 θ，则＝，∴tan 2θ＝＝，故选D.] ►[角度3]　给值求角　 [例4]　(1)(2023·商丘、新乡联考)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　 ) A. B. C. D.或 [解析]　C　[∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，∴cos α＝－，sin β＝，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，∴α＋β＝.] 三角变换常用技巧 (1)给角求值问题要充分观察并利用所给角与特殊角的关系，给值求值要着眼于所求角与已知角的和、差或倍数关系，两者的关键都在于“变角”． (2)给值求角问题的解题策略 ①求相关角的某一个三角函数值． ②由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据已知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的