第四章 第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第三节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ★[考试要求] 1．会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用． 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)： cos(α－β)＝　cos_αcos_β＋sin_αsin_β　； (2)公式C(α＋β)： cos(α＋β)＝　cos_αcos_β－sin_αsin_β　； (3)公式S(α－β)： sin(α－β)＝　sin_αcos_β－cos_αsin_β　； (4)公式S(α＋β)： sin(α＋β)＝　sin_αcos_β＋cos_αsin_β　； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 2．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. 两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． tan αtan β＝1－＝－1. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　) (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(　　) (4)sin α＋cos α＝sin.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．sin 15°sin 45°－cos 15°cos 45°＝(　　 ) A.　　B.　　　C．－　　　D．－ 解析：C　[sin 15°sin 45°－cos 15°cos 45°＝－(cos 15°·cos 45°－sin 15°sin 45°)＝－cos(15°＋45°)＝－cos 60°＝－.] 3．已知α∈，sin α＝，则tan＝(　　 ) A. B．7 C．－ D．－7 解析：A　[因为α∈，所以cos α＜0.因为sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝＝－，所以tan＝＝＝.] 4．sin －cos 的值为(　　 ) A．0 B．－ C．2 D. 解析：B　[sin －cos ＝2＝2sin＝2sin＝－.] 5．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝　________　. 解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝. 答案： 　　　两角和与差的三角函数公式 [例1]　(1)(2023·包头模拟)已知cos α＋ cos＝1，则cos等于(　　 ) A.　B.　　C.　　D. [解析]　D　[∵cos α＋cos＝1，∴cos α＋cos α＋sin α＝cos α＋sin α＝ ＝cos＝1，∴cos＝.] (2)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　 ) A．－ B. C. D．－ [解析]　A　[因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－.因为tan(π－β)＝＝－tan β，所以tan β＝－，则tan(α－β)＝＝－.] 三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反．” (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． 1．(多选)下面各式中，正确的是(　　 ) A．sin＝sin cos ＋cos B．cos＝sin －cos cos C．cos＝cos cos ＋ D．cos ＝cos －cos 解析：ABC　[∵sin＝sin cos ＋cos sin ＝sin cos ＋cos ，∴A正确； ∵cos ＝－cos ＝－cos＝sin －cos cos ，∴B正确； ∵cos＝cos＝cos cos ＋，∴C正确； ∵cos ＝cos≠cos －cos ，∴D不正确．故选ABC.] 2．已知cos＝cos α，tan β＝，则tan(α＋β)＝　________　. 解析：因为cos＝cos α－sin α＝cos α，所以－sin α＝cos α，故tan α＝－，所以tan(α＋β)＝＝＝＝－. 答案：－ 　　　　　　　两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 [例2]　(1)(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝c