第四章 第七节 第3课时 解三角形的实际应用-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第3课时　解三角形的实际应用 　　　距离问题 [例1]　(1)如图，礼堂外立面装修，设A，B两点在礼堂外立面的上下两端，测量者在A的同侧底沿边选定一点C，测出AC的距离为10 m，∠ACB＝75°，∠CAB＝60°，就可以计算出BC两点的距离为(　　) A．5 m　　　　　 B．5 m C. m D．5 m [解析]　B　[∵△ABC中，∠ACB＝75°，∠CAB＝60°，∴∠B＝180°－＝45°，又∵△ABC中，AC＝100 m，∴由正弦定理可得：＝，则BC＝＝＝5 m．故选B.] (2)如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1 km，CD＝3 km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A，C之间的距离为(　　) A．2 km B. km C. km D．3 km [解析]　C　[由题意知，AB＝1 km，CD＝3 km，∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠BED＝120°.所以BE＝＝＝(km)，DE＝＝＝(km)．在△BED中，由余弦定理得，BD2＝BE2＋DE2－2×BE×DE×cos ∠BED＝3＋3－2×××＝9，所以AC＝＝＝(km)，即两山顶A，C之间的距离为 km.故选C.] 距离问题的解题思路 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解． 注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当． 1．一条河流从某城市中穿过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点A、B，并测得AB＝a，选取对岸一目标点C并测得∠ABC＝α，∠BAC＝β，则该段河流的宽度为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[在△ABC中，由正弦定理得＝＝，所以AC＝＝，如图所示过C点向AB做垂线交AB与D： 所以该段河流的宽度CD＝AC×sin∠CAB＝.故选A.] 2．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为　________　米． 解析：∵在△ACD中，∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC＝15°.由正弦定理，得AC＝＝＝40(＋)(米)，在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠CBD＝30°，由正弦定理，得＝，∴BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)(米)，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝1600(8＋4)＋1600(8－4)＋2×1600(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB＝80(米)，则A，B两点间的距离为80米． 答案：80 　　　高度问题 [例2]　(1)如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点P距地面的距离，小明同学在场馆内的点A测得P的仰角为30°，∠ABO＝75°，∠BAO＝60°，AB＝60(单位：m)，点A，B，O在同一水平地面上，则大跳台最高高度OP＝(　　) A. m B．30 m C. m D．30 m [解析]　A　[在△ABO中，∠ABO＝75°，∠BAO＝60°，∠AOB＝45°，则sin∠ABO＝sin＝sin∠BAOcos∠BOA＋cos∠BAOsin∠BOA＝×＋×＝，由正弦定理可得＝，则AO＝＝＝30，在Rt△APO中，∠PAO＝30°，∵tan∠PAO＝，则OP＝AO×tan∠PAO＝30× m＝(30＋10) m．故选A.] (2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝　________　 m. 解析：由题意可得，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°. 又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300 m. 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m)． 答案：100 处理高度问题的注意事项 (1)在处理有关高度问题时，正确理解仰角、俯角是一个关键． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不