第四章 第七节 第2课时 解三角形的综合应用-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第2课时　解三角形的综合应用 　　　解三角形中的结构不良问题 [例1]　(2023·云南师大附中模拟)△ABC的内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，点O为△ABC的内心，记△OBC，△OAC，△OAB的面积为S1，S2，S3，已知S＋S－S＝S1S3，c＝3. (1)求角B； (2)在①sin A＋sin B＝2sin C；②＝2；③acos C＋ccos A＝这三个条件中任选一个，判断三角形是否存在？若存在，求出三角形面积，若不存在，请说明理由． [解析]　(1)设△ABC内切圆半径为r， 因为S＋S－S＝S1S3，所以2＋2－2＝，化简得：a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝，因为B∈，所以B＝. (2)若选择①，因为sin A＋sin B＝2sin C，所以a＋b＝2c＝6，由(1)知a2＋c2－b2＝ac，c＝3，所以a2＋9－b2＝3a，所以a2＋9－2＝3a，解得a＝b＝3，所以△ABC存在且唯一，面积S＝absin C＝×9×＝. 若选择②，＝2，所以a＝2b，由(1)知a2＋c2－b2＝ac，c＝3，所以4b2＋9－b2＝6b，整理得b2－2b＋3＝0，b无解，故△ABC不存在．若选择③，因为acos C＋ccos A＝，所以a×＋c×＝b＝.由(1)知a2＋c2－b2＝ac，c＝3，所以a2＋9－7＝3a，整理得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2，经检验，a＝1或a＝2，满足题意，所以△ABC存在两个解．当a＝1时，△ABC的面积S＝acsin B＝×3×＝，当a＝2时，△ABC的面积S＝acsin B＝×6×＝. “结构不良问题”的解题策略 (1)题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目． (2)在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分． 1．在①a＝6；②a＝8这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sinB的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且a2＋b2－c2＝4S，c＝5，　________　？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解析：因为a2＋b2－c2＝4S，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，可得2abcos C＝4×absin C，由 cos C≠0，得tan C＝1，又C∈，所以C＝. 选①：由正弦定理＝得sin A＝，代入sin2A＋cos2 A＝1得cos A＝±，又sin A<sin C，得A是一个小于C的锐角，故cos A＝，此时三角形存在，所以sin B＝sin＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 选②：由＝得sin A＝，代入sin2 A＋cos2 A＝1得cos A＝±，则当cos A＝时，A是一个大于C的锐角，此时三角形存在，所以sin B＝sin＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝，当cos A＝－时，A是一个钝角，此时三角形存在，所以sin B＝sin＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 　　　与平面几何有关的问题 [例2]　(2023·苏州模拟)如图，平面四边形ABCD中，点B，C，D均在半径为的圆上，且∠BCD＝. (1)求BD的长度； (2)若AD＝3，∠ADB＝2∠ABD，求△ABD的面积． 解：(1)解法一：由题意可知，△BCD的外接圆半径为，由正弦定理＝2R＝2×，解得BD＝5. 解法二：由题意可知，△BCD的外接圆半径为，设该外接圆的圆心为O，则∠BOD＝，OB＝OD＝，所以BD2＝OB2＋OD2－2OB·ODcos∠BOD＝25，解得BD＝5. (2)解法一：在△ABD中，设∠ABD＝α，α为锐角，则∠ADB＝2α，因为＝，所以＝，所以AB＝6cos α.因为AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos α，即9＝36cos2 α＋25－60cos2 α，所以cos α＝，则AB＝6cos α＝2，sin α＝，所以S△ABD＝AB·BDsin α＝5. 解法二：在△ABD中，因为∠ADB＝2∠ABD，所以sin∠ADB＝sin2∠ABD＝2sin∠ABD·cos∠ABD， 所以AB＝2ADcos∠ABD＝2AD·，因为BD＝5，AD＝3，所以AB＝2，所以cos∠ABD＝，则sin∠ABD＝，所以S△ABD＝AB·BDsin∠ABD＝5. 解法三：在△ABD中，设∠ABD＝α，α为锐角，则∠ADB＝2α，∠BAD＝π－3α，因为＝，即＝，又sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α＝2sin