第四章 第七节 第1课时 正弦定理、余弦定理-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第七节　解三角形 ★[考试要求] 1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 1．正弦定理与余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝　b2＋c2－2bccos_A　； b2＝　c2＋a2－2cacos_B　； c2＝　a2＋b2－2abcos_C　 变形 (1)a＝2Rsin A， b＝　2Rsin_B　， c＝　2Rsin_C　； (2)asin B＝bsin A， bsin C＝csin B， asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cosC＝ 2.三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　) (2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　) (4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝60°，b＝2，c＝3，则a＝(　　) A.　B.　　C．4　　D. 解析：A　[利用余弦定理求解即可． ∵A＝60°，b＝2，c＝3，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋9－2×2×3×＝7， ∴a＝.故选A.] 3．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝b，B＝30°，则角A可能为(　　) A．135° B．105° C．45° D．15° 解析：BD　[由正弦定理求角． 正弦定理得＝，又c＝b，B＝30°，sin C＝，c>b，则C>B,0°<C<180°，故C＝45°或135°，A＝105°或15°，故选BD.] 4．在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，则c＝　________　，△ABC的面积＝　________　. 解析：易知c＝＝，△ABC的面积等于×2×3×＝. 答案：　 第1课时　正弦定理、余弦定理 　　　利用正弦定理、余弦定理解三角形 [例1]　(1)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知2bsin A－a＝0，且B为锐角，若3c＝3a＋b，则A＝(　　) A.　　B.　　　C.　　　D. [解析]　A　[由正弦定理可知，＝， ∵2bsin A－a＝0，∴2sin Bsin A＝sin A，又在△ABC中，sin A>0，∴2sin B＝，即sin B＝，∵B为锐角，∴B＝，∵3c＝3a＋b，所以由正弦定理得：sin C＝sin A＋sin B＝sin A＋，又C＝π－，∴sin＝cos A＋sin A＝sin A＋，即cos A－sin A＝，∴sin＝，∵A∈，∴－A∈，故可得－A＝，即A＝，故选A.] (2)在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c .已知＝2abccos C．则tan A＝(　　) A. B．2 C. D．2 [解析]　B　[因为cos A＝，得b2＋c2－a2＝2bccos A，又因为＝2abccosC，得2bccos A＝2abccos C，整理得cos A＝acos C，由正弦定理可得3sin Bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C，得3sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C，得3sin Bcos A＝sin＝sin B，因为sin B≠0，所以cos A＝， 所以tan A＝＝＝2，故选B.] 用正、余弦定理求解三角形基本量的方法 1．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)． (1)证明：2a2＝b2＋c2； (2)若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长． 解析：(1)证明：因为sin Csin＝sin Bsin，