第四章 第六节 函数y＝Asin(ωx＋φ)-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第六节　函数y＝Asin(ωx＋φ) ★[考试要求] 1．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 1．简谐运动的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点 ωx＋φ 0 π 2π x y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　 ) (2)函数y＝sin 的图象是由y＝sin 的图象向右平移个单位得到的．(　　 ) (3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　 ) (4)把函数y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　 ) A．2，，　　　　 B．2，， C．2，， D．2，，－ 解析：A　[由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.故选A.] 3．若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　) A．2　　B.　　　C．1　　　D. 解析：A　[依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×＝π，解得ω＝2，选A.] 4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　) A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4， 解析：A　[由图可知，T＝＋＝，所以T＝π，ω＝＝2.因为点在图象上，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z.又－<φ<，所以φ＝－.故选A.] 5．为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 5x的图象向　________　平移　________　个单位长度． 解析：y＝2sin＝2sin 5，故将函数y＝2sin 5x的图象向右平移个单位长度即可得到y＝2sin的图象． 答案：右　 　　　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 [例1]　(2023·大连月考)已知函数y＝2sin. (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到． [解]　(1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝. (2)令X＝2x＋，则y＝2sin(2x＋)＝2sin X. 列表如下： x － X 0 π 2π y＝sin X 0 1 0 －1 0 y＝2sin 0 2 0 －2 0 描点画出图象，如图所示． (3)方法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin的图象；最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象． 方法二：将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)， 即得到y＝2sin的图象． (1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标． (2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度． (3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．