第四章 第二节 同角三角函数基本关系式及诱导公式-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第二节　同角三角函数基本关系式及诱导公式 ★[考试要求] 1．理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.2.掌握诱导公式，并会简单应用． 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：　sin2α＋cos2α＝1　. (2)商数关系：　＝tan α　. 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α 　－sin α　 　－sin α　 　sin α　 　cos α　 　 cos α　 余弦 cos α 　－cos α　 　cos α　 　－cos α　 　sin α　 　－sin α　 正切 tan α 　tan α　 　－tan α　 －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 同角三角函数的基本关系式的常见变形 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　 ) (2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　 ) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　 ) (4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知tan α＝2，则等于(　　 ) A.　　B．－　　　C.　　　D．－ 解析：A　[原式＝＝＝.] 3．已知α为锐角，且sin α＝，则cos (π＋α)＝(　　 ) A．－ B. C．－ D. 解析：A　[因为α为锐角，所以cos α＝＝，故cos(π＋α)＝－cos α＝－.] 4．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α的值为　______　. 解析：∵sin α＝，α是第二象限角， ∴cos α＝－＝－. 答案：－ 5．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为　________　. 解析：原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α. 答案：－sin2α 　　　同角三角函数基本关系式 ►[角度1]　弦切互化　 [例1]　若α∈，sin(π－α)＝，则tan α＝(　　 ) A．－　　B.　　　C．－　　　D. [解析]　C　[因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－，所以tan α＝－，故选C.] ►[角度2]　“1”的变换　 [例2]　(2023·海口模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边上有一点P(1,2)，则＝　________　. [解析]　因为角α的终边上有一点P(1,2)，所以tanα＝2.所以＝＝＝＝－4. [答案]　－4 ►[角度3]　sin x＋cos x，sin x－cos x，sin xcos x之间的关系　 [例3]　已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝. (1)求sin α－cos α的值； (2)求的值． [解析]　(1)由sin α＋cos α＝，平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，整理得2sin αcos α＝－.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝.由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，∴cos α>0，则sin α－cos α<0，故sin α－cos α＝－. (2)＝＝＝＝－. (1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 1．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sinα，3)(sinα≠0)，则cosα＝(　　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：A　[由三角函数定义，得tanα＝，所以＝，则2(1－cos2α)＝3cosα，所以(2cosα－1)(cosα＋2)＝0，则cosα＝.] 2．(2023·武汉二模)已知sin θ＋cos θ＝－，θ∈(0，π)，则sin θ－cos θ＝(　　) A. B．－