第十章 热点强化课10 概率、统计与其他知识的交汇问题(教师专享)-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

热点强化课10　概率、统计与其他知识的交汇问题 　　　概率、统计与数列的综合问题 [例1]　在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：A使之开红花，a使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：AA为开红花，Aa和aA一样不加区分为开粉色花，aa为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第n代的遗传设想为第n次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状Aa的父本来说，如果抛出正面就选择因子A，如果抛出反面就选择因子a，概率都是，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状AA，Aa(或aA)，aa在父本和母本中以同样的比例u：v：w(u＋v＋w＝1)出现，则在随机杂交试验中，遗传因子A被选中的概率是p＝u＋，遗传因子a被选中的概率是q＝w＋，称p、q分别为父本和母本中遗传因子A和a的频率，p：q实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题： (1)如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是Aa，后代遗传性状为AA，Aa(或aA)，aa的概率分别是多少？ (2)对某一植物，经过实验观察发现遗传性状aa具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为AA，Aa(或aA)的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子A被选中的概率为p，a被选中的概率为q，其中p、q为定值且p＋q＝1，求杂交所得子代的三种遗传性状AA，Aa(或aA)，aa所占的比例u1，v1，w1； (3)继续对(2)中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除aa的个体．假设得到的第n代总体中3种遗传性状AA，Aa(或aA)，aa所占的比例分别为：un，vn，wn(un＋vn＋wn＝1)，设第n代遗传因子A和a的频率分别为pn和qn，已知有以下公式pn＝，qn＝，n＝1,2… (ⅰ)证明是等差数列； (ⅱ)求un＋1，vn＋1，wn＋1的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？ 解析：(1)根据上代父本、母本的遗传性状都是Aa可得基本事件的总数，由古典概型的概率公式可得所求的概率．(2)根据独立事件的概率计算方法可求u1，v1，w1. (3)根据un，vn，wn的定义可得三者与pn，qn的关系，结合给定的pn＝，qn＝可得qn＋1＝，两边取倒数后利用等差数列的定义可判断是等差数列，由此求出qn的通项，从而可求un＋1，vn＋1，wn＋1的通项公式． (1)因为上代父本、母本的遗传性状都是Aa，故子代的遗传性状有：AA，Aa，aA，aa，共4种，故AA，Aa(或aA)，aa的概率分别是，，. (2)由题可得，u1＝p2，v1＝2pq，w1＝q2； (3)由(2)知，un＋1＝p，vn＋1＝2pnqn，wn＋1＝q， ∴qn＋1＝＝＝＝， 则＝1＋，∴是公差为1的等差数列： ＝＋(n－1)，其中q1＝＝＝， ∴＝＋n，qn＝，于是wn＋1＝q＝2， pn＝1－qn＝，un＋1＝p＝2，vn＋1＝2pnqn＝2·， 对于wn＋1＝2，n越大，wn＋1越小，所以这种实验长期进行下去，wn越来越小，而wn是子代中aa所占的比例，也即性状aa会渐渐消失． 在概率与统计的问题中，偶尔会出现概率统计与数列综合考查的问题，一般以压轴题出现． 1．(2023·福州质检)某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加n(n∈N*，且n≥2)次抽奖，每次中奖的概率为，不中奖的概率为，且各次抽奖相互独立．规定第1次抽奖时，若中奖则得10分，否则得5分．第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个； 方案① ：若中奖则得30分，否则得0分； 方案② ：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分． 第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束． (1)如果n＝2，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由； (2)记顾客甲第i次获得的分数为Xi(i＝1,2，…，n)，并且选择方案②.请直接写出E(Xi＋1)与E(Xi)的递推关系式，并求E(X8)的值．(精确到0.1，参考数据：7≈0.059.) 解析：(1)若甲第2次抽奖选方案①，两次抽奖累计积分为ξ，则ξ的可能取值为40,35,10,5. P(ξ＝40)＝×＝，P(ξ＝35)＝×＝， P(ξ＝10)＝×＝，P(ξ＝5)＝×＝， 所以E(ξ)＝＋＋＋＝. 若甲第2次抽奖选方案②，两次抽奖累计积分为η，则η的可能取值为30,1