第十章 第五节 古典概型、概率的基本性质-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第五节　古典概型、概率的基本性质 ★[考试要求] 1．理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率.3.当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率 1．古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：样本空间的样本点只有　有限个　； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性　相等　. 2．古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝　　＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 3．概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝　P(A)＋P(B)　； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝　1－P(B)　； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(　　) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　　) (3)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　) (4)两个互斥事件的概率和为1.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为(　　 ) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：D　[一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，故P＝＝.] 3．红、黑两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，记事件A为：每对同字的棋子中，均为红棋子在前，则事件A发生的概率为(　　 ) A. B. C. D. 解析：B　[6枚棋子排成一列，基本事件的总数为n＝A＝720，事件包含的基本事件：先从6个位置中选出2个排车，因为红车在前，所以有C种排法，同理，再从剩下的4个位置中选2个排马，红马在前有C种排法；最后的两个位置排炮，红炮在前有C种排法．故共有CCC＝90(种)排法．由古典概型的概率公式，得P(A)＝＝.] 4．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为　________　. 解析：设“甲、乙都入选”为事件A，则P(A)＝＝. 答案： 　　　古典概型 [例1]　(1)(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A.　 　B.　 　C.　 　D. [解析]　D　[从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C＝21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,6)，(4,6)，(4,8)，(6,8)，共7种，故所求概率P＝＝.故选D.] (2)(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一平面上的概率为　________　. 解析：从正方体的8个顶点中任选4个，有C＝70(种)不同的选法，其中这4个点在同一平面的情况有侧面6种，对棱面6种共有12种不同的情况，所以这4个点在同一个平面的概率为P＝＝. 答案： 求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题． (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同． (3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识． 1．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：D　[记“两位女同学相邻”为“事件A”，则P(A)＝＝，故选D.] 2．(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格．则下列选项正确的是(　　 ) A．答对0题和答对3题的概率相同，都为 B．答对1题的概率为 C．答对