第十章 第三节 二项式定理-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第三节　二项式定理 ★[考试要求] 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝　Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn　(n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝　Can－kbk　，它表示第　k＋1　项； (3)二项式系数：二项式展开式中各项的系数C，C，…，C. 2．二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即　C＝C　 增减性 二项式 系数C 当k＜(n∈N*)时，是　递增　的 当k＞(n∈N*)时，是　递减　的 二项式系数最大值 当n为偶数时，中间的一项Cn取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值 3.各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝　2n　. (2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝　2n－1　. 1．(a＋b)n的展开式的三个重要特征 (1)项数：项数为n＋1. (2)各项次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数和为n. (3)顺序：字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项增1直到n. 2．各二项式系数的和 (1)(a＋b)n的展开式的各个二项式系数和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Can－kbk是二项展开式的第k项．(　　 ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　 ) (3)(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．(　　 ) (4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.5的展开式中x4的系数为(　　) A．10　　B．20　　　C．40　　　D．80 答案：C 3．(2022·北京高考)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 解析：B　[当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0①；当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0②；①＋②得原式＝41.] 4．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则a等于　________　. 解析：由二项式系数和为2n＝32，得n＝5，又令x＝1得各项系数和为(a＋1)5＝243，所以a＋1＝3，故a＝2. 答案：2 　　　通项公式的应用 ►[角度1]　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项　 [例1]　(1)若n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是(　　 ) A．3　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6 [解析]　C　[n的展开式的通项Tr＋1＝C·(－1)r·，r＝0,1,2,3，…，n.令＝0，可得n＝5r.∵展开式中含有常数项，∴n＝5r能成立，则正整数n的最小值为5，故选C.] (2)(多选)已知二项式n(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则下列说法正确的是(　　 ) A．所有项的系数之和为1 B．所有项的系数之和为－1 C．含x3的项的系数为240 D．含x3的项的系数为－240 [解析]　AC　[由二项式n(n∈N*)的展开式中的通项公式为Tr＋1＝C·(－1)r·2n－r·，它第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，∴C：C＝2∶5，求得n＝6，故通项公式为Tr＋1＝C·(－1)r·26－r·. 令6－＝3，求得r＝2，故x3的系数为C·24＝240，令x＝1代入6＝1；故所有项的系数之和为1；故选AC.] ►[角度2]　形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题　 [例2]　(1)(2023·邯郸二模)(x2－x)(1＋x)6的展开式中x3项的系数为(　　 ) A．－9 B．9 C．－21 D．21 [解析]　A　[将(1＋x)6利用二项式定理展开后即可求解． 展开式中x3项的系数为C－C＝－9.故选A.] (2)已知(x＋1)·5的展开式中，常数项为－40，则a的值为(　　 ) A．2 B．－2 C．±2 D．4 [解析]　C　[5的展开式的通项为Tr＋1＝C·(ax)5－r·r＝(－1)r·a5－r·C