第十章 第七节 随机变量及其分布列、数字特征-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第七节　随机变量及其分布列、数字特征 ★[考试要求] 1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征． 1．离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有　唯一　的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 3．离散型随机变量的分布列的性质 ①pi　≥　0，i＝1,2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝　1　. 4．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值 则称E(X)＝　x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的　平均水平　. (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的　标准差　，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的　偏离程度　. 5．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝　aE(X)＋b　. (2)D(aX＋b)＝　a2D(X)　(a，b为常数)． 均值与方差的三个常用性质 (1)Ek＝k，DK＝0，其中k为常数． (2)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2. (3)DX＝EX2－(EX)2. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　　) (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于(　　 ) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：D　[P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.] 3．已知随机变量ξ的分布列是： ξ 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则D(ξ)＝(　　 ) A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 解析：B　[E(ξ)＝1×0.4＋2×0.2＋3×0.4＝2，则D(ξ)＝(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.2＋(3－2)2×0.4＝0.8.] 4．已知随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P 若Y＝2X＋3，则EY的值为　________　. 解析：EX＝－＋＝－，则EY＝E(2X＋3)＝2EX＋3＝－＋3＝. 答案： 　　　分布列的性质 [例1]　(1)若随机变量X的分布列如下表，则mn的最大值是(　　 ) X 0 2 4 P m 0.5 n A.　　　B.　　　C.　　　D. [解析]　A　[由分布列的性质， 得m＋n＝，m≥0，n≥0，所以mn≤2＝，当且仅当m＝n＝时，等号成立．] (2)随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝　______　，公差d的取值范围是　______　. [解析]　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝.又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤. [答案]　　 离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值． (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． 1．已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P x y z 则P(X≥2)＝(　　 ) A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 解析：D　[P(X≥2)＝x＋ ＋y＋z＝1－ ＝0.6.] 2．(多选)设随机变量ξ的分布列为P ＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则(　　 ) A．15a＝1 B．P(0.5＜ξ＜0.8)＝0.2 C．P(0.1