第十章 第六节 事件的相互独立性与条件概率-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第六节　事件的相互独立性与条件概率 ★[考试要求] 1．了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.2.了解条件概率与独立性的关系，会利用乘法公式计算概率.3.会利用全概率公式计算概率． 1．相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝　P(A)P(B)　，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与　B　，与也都相互独立． 2．条件概率 (1)条件概率的计算公式： 条件 设A，B为两个事件，且P(A)>0 含义 在事件　A　发生的条件下，事件　B　发生的条件概率 记作 P(B|A) 读作 　A　发生的条件下　B　发生的概率 计算 公式 ①缩小样本空间法：P(B|A)＝； ②公式法：P(B|A)＝ (2)条件概率的性质：设P(B|A)>0，则 ①P(Ω|A)＝　1　； ②任何事件的条件概率都在　0和1　之间，即　0≤P(B|A)≤1　； ③如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝　P(B|A)＋P(C|A)　； ④设和B是互斥事件，则P(|A)＝　1－P(B|A)　. (3)概率的乘法公式 由条件概率的定义知，若P(A)>0，则P(AB)＝　P(A)P(B|A)　，我们称该式为概率的乘法公式． 3．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝　P(Ai)P(B|Ai)　，我们称上面的公式为全概率公式． 1．计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数． 2．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　　) (2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　　) (3)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，则A，B相互独立．(　　) (4)若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为(　　 ) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：B　[因为两人加工成一等品的概率分别为和，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P＝×＋×＝.] 3．若P(A|B)＝，P(B)＝，则P(AB)的值是(　　 ) A. B. C. D. 解析：A　[由P(AB)＝P(A|B)P(B)，可得P(AB)＝×＝.] 4．已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02,0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为(　　 ) A. B. C. D. 解析：B　[设B表示汽车中途停车修理，A1表示公路上经过的汽车是货车，A2表示公路上经过的汽车是客车，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝×0.02＋×0.01＝.] 　　　条件概率 [例1]　(1)小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，A＝{取到的两个为同一种馅}，B＝{取到的两个都是豆沙馅}，则P(B|A)＝(　　 ) A.　　　B.　　　C.　　　D. [解析]　B　[由题意，P(A)＝＝， P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝，故选B.] (2)(2023·长沙质检)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)＝(　　 ) A. B. C. D. [解析]　C　[由题设，得P(B)＝＝，P(AB)＝＝，故P(A|B)＝＝.] 条件概率的两种求解方法 1．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学