第十章 第九节 概率与统计的综合问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第九节　概率与统计的综合问题 　　　频率分布直方图与分布列的综合问题 [例1]　(2023·吉安模拟)为了解成年人的交通安全意识情况，某中学组织学生进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．随机地抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查，其中拥有驾驶证的占.这200人所得的分数都分布在[30,100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如下． (1)补全下面的2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为“具有很强安全意识”与“拥有驾驶证”有关？ 拥有驾驶证 没有驾驶证 总计 具有很强 安全意识 22 不具有很 强安全意识 总计 200 (2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取3人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附临界值表：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析：(1)根据频率分布直方图求出a，进而填写列联表，再计算卡方进行独立性检验； (2)分别计算出X的所有可能值对应的概率，再列出分布列，最后求出期望． (1)200人中拥有驾驶证的占，有80人，没有驾驶证的有120人，由题意知(0.004＋0.008＋0.020＋0.028＋0.020＋a＋0.004)×10＝1，解得a＝0.016.所以具有很强安全意识的人有200×(0.016＋0.004)×10＝40人，不具有很强安全意识的有160人． 补全2×2列联表如下： 拥有驾驶证 没有驾驶证 总计 具有很强安全意识 22 18 40 不具有很强安全意识 58 102 160 总计 80 120 200 计算得χ2＝＝≈4.688＞3.841， ∴有95%的把握认为“具有很强安全意识”与“拥有驾驶证”有关． (2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为 所以X的所有可能取值为0,1,2,3 则P(X＝0)＝3＝ P(X＝1)＝C××2＝ P(X＝2)＝C×2×＝ P(X＝3)＝3＝ 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 高考常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确的把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键． 1．(2023·青岛模拟)保障和改善人民最关心最直接最现实的利益问题要从“让人民群众满意的事情”做起.2022年年底某市城市公园建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制成如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级： 满意度评分 低于60分 60分到79分 80分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意 (1)若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市民满意度，现从全市民中随机抽取5人，求至少2人非常满意的概率； (2)相关部门对该项目进行验收，验收的硬性指标是：全民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需要进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由；(注：满意指数＝) (3)在等级为不满意的市民中，老人占，现从该等级市民中按年龄分层抽取9人了解不满意的原因，并从中选取3人担任督导员．记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E(X)． 解析：(1)根据矩形面积之和为1求出a，然后通过对立事件求概率的方法与二项分布求概率的方法求出答案； (2)算出满意度的平均分即可判断答案； (3)根据超几何分布求概率方法求出概率，然后列出分布列，求出期望． (1)∵(0.002＋0.004＋0.015＋0.02＋a＋0.034)×10＝1，解得a＝0.025，设至少2人非常满意的概率为事件A，由题意知5人中非常满意的人数ξ～B，P(A)＝1－C×5－C×4×＝. (2)由频率分布直方图得： 满意度平均分为45×0.02＋55×0.04＋65×0.15＋75×0.2＋85×0.34＋95×0.25＝80.5，满意指数＝＝0.805＞0.8，因此，能通过验收． (3)分层抽取9人中老人有3人，由题意知X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝，则分布列为： X 0 1 2 3 P 所以