第十章 第二节 排列与组合-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第二节　排列与组合 ★[考试要求] 1．理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.2.能解决简单的实际问题． 1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 若按照　一定的顺序　排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列 组合 若作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2.排列数与组合数 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有　不同排列　的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有　不同组合　的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． 3．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)　＝. (2)C＝＝＝　　(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1 性质 (1)0！＝　1　；A＝　n！　. (2)C＝C；C＝　C＋C　 (1)C＝C：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数． (2)C＋C＝C：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有C种方法；②含特殊元素A有C种方法． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　) (2)选择两人去参加同一项活动时无先后顺序．(　　) (3)若组合数公式C＝C，则x＝m成立．(　　) (4)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　 ) A．120种　B．90种　　C．60种　　D．30种 解析：C　[先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法；再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C种选法；最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有C·C·C＝60(种)不同的安排方法．] 3．若原来站成一排的4个人重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置上，则不同的站法种数为(　　 ) A．4 B．8 C．12 D．24 解析：B　[根据题意，分两步考虑：第一步，先从4个人里选1人，其位置不变，其他3人都不站在自己原来的位置上，站法有C＝4(种)；第二步，对于都不站在自己原来的位置上的3个人，有2种站法．故不同的站法共有4×2＝8(种)．故选B.] 4．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有　________　种．(用数字作答) 解析：先排甲、乙之外的3人，有A种排法，然后将甲、乙两人插入形成的4个空中，有A种排法，故共有A·A＝72(种)排法． 答案：72 　　　排列问题 [例1]　3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数． (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体站成一排，男、女各站在一起； (4)全体站成一排，男生不能站在一起． [解析]　(1)从7个元素中选出5个全排列，有A＝2 520种排法． (2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A＝5 040种排法． (3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A·A·A＝288(种)． (4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A种排法，故N＝A·A＝1 440(种)． 1．解有“相邻元素”的排列问题的方法 对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再单独考虑这个整体内部各元素间的顺序． 2．解有“不相邻元素”的排列问题的方法 对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，此时最左侧元素、最右侧元素的外侧也分别视为一个“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”． [注意]　根据具体问题判断两端元素外是否还有“空”． 1．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有(　　 ) A．12种　B．24种　　C．36种　　D．48种 解析：B　[利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3！种排列方式；为