第十章 第八节 二项分布、超几何分布与正态分布-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第八节　二项分布、超几何分布与正态分布 ★[考试要求] 1．理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用． 1．伯努利试验与二项分布 (1)伯努利试验 　只包含两个可能结果　的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为　n重伯努利试验　. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝　Cpk(1－p)n－k　，k＝0,1,2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作　X～B(n，p)　. 2．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝　p　，D(X)＝　p(1－p)　. (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝　np　，D(X)＝　np(1－p)　. 3．超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝　　，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 4．正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从　正态分布　，记为X～N(μ，σ2)． (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线　x＝μ　对称． ②曲线在　x＝μ　处达到峰值. ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝　μ　，D(X)＝　σ2　. 1．二项分布当n＝1时就是两点分布． 2．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题． 3．利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件 (1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p； (2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的； (3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(　　 ) (2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　 ) (3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立．(　　 ) (4)正态分布是对于连续型随机变量而言的．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为(　　 ) A．0.33　　B．0.66　　　C．0.5　　　D．0.45 解析：A　[设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为X，则X～B(5,0.9)，所以P(X＝4)＝C×0.94×0.1≈0.33.] 3．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X≤4)＝0.88.则P(0<X<4)＝(　　 ) A．0.88 B．0.76 C．0.24 D．0.12 解析：B　[因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，μ＝2，对称轴是直线X＝2，P(X≤4)＝0.88，所以P(X≥4)＝P(X≤0)＝1－0.88＝0.12，所以P(0<X<4)＝1－2P(X≥4)＝1－0.24＝0.76.故选B.] 4．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝　________　. 解析：由题意得P(X＝2)＝＝. 答案： 　　　二项分布 [例1]　(2023·株洲质检)M1、M2是治疗同一种疾病的两种新药，某研发公司用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用M1，另2只服用M2，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用M1有效的小白鼠的只数比服用M2有效的多，就称该试验组为优类组．设每只小白鼠服用M1有效的概率为，服用M2有效的概率为. (1)求一个试验组为优类组的概率； (2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中优类组的个数，求ξ的分布列和数学期望． [解析]