第三章 热点强化课2 函数中的构造问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

热点强化课2　函数中的构造问题 　　　导数型构造函数 ►[角度1]　利用f(x)与x构造　 [例1]　(2023·大连二模)下列不等式正确的是(　　 ) A.＞　　　　　 B.＞ln 2 C．eln 10＞10 D．2＞6 [解析]　B　[令f(x)＝，则f′(x)＝，则当0<x<e时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞e时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；则f(x)max＝f(e)＝，对于A，＝＝，故A错误；对于B，f(3)＞f(4)⇒＞＝⇒＞ln 2，故B正确；对于C，f(e)＞f(10)⇒＝＞⇒10＞eln 10，故C错误；对于D，∵＜e，故根据f(x)的单调性可知f(2)＜f()⇒＜⇒ln 2＜2ln⇒ln2＜ln 6⇒2＜6，故D错误．故选B.] (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)； (2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. ►[角度2]　利用f(x)与ex构造　 [例2]　(2023·华大新高考联盟押题卷)已知实数a，b，c∈(0,1)，e为自然对数的底数，且ae2＝2ea，be3＝3eb,2c＝ecln 2，则(　　 ) A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b [解析]　A　[由题得＝，＝，＝，构造函数f(x)＝(x＞0)，利用导数求出函数的单调性即得解． 由ae2＝2ea，be3＝3eb,2c＝ecln 2得＝，＝，＝＝＝， 构造函数f(x)＝(x＞0)，求导得f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1. 当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 因为1＜ln 4＜2＜3，所以f(ln 4)＜f(2)＜f(3)，所以f(c)＜f(a)＜f(b)，又因为a，b，c∈(0,1)， f(x)在(0,1)上单调递减，所以b＜a＜c.故选A.] (1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)； (2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. ►[角度3]　利用f(x)与sin x、cos x构造　 [例3]　(多选)(2023·重庆模拟)定义在上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cos x·f′(x)＋sin x·f(x)<0成立，则有(　　 ) A．f >f B.f >f C．f >f D.f >f [解析]　CD　[构造函数g(x)＝. 则g′(x)＝<0，即函数g(x)在上单调递减，所以g>g，所以f >f ，同理g>g，即f >f .] 函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 (1)F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； (2)F(x)＝，F′(x)＝； (3)F(x)＝f(x)cos x，F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x； (4)F(x)＝，F′(x)＝. 1．(2023·南通下学期调研一)已知α，β均为锐角，且α＋β－>sin β－cos α，则(　　) A．sin α>sin β B．cos α>cos β C．cos α>sin β D．sin α>cos β 解析：D　[由已知条件可得β－sin β＞－α－ sin，构造函数f(x)＝x－sin x，x∈，利用导数可得f(x)在上为增函数，从而可得β＞－α，再由正余弦函数的单调性可得结论． α＋β－>sin β－cos α，β－sin β>－α－sin， 令f(x)＝x－sin x，x∈，f′(x)＝1－cos x>0， 所以f(x)在上为增函数，∴β>－α，∵α，β均为锐角， ∴cos β<cos，sin β>sin ∴cos β<sin α，sin β>cos α.故选：D.] 2．(2023·南平质检三)对任意的x1，x2∈(1,3]，当x1＜x2时，x1－x2－ln＞0恒成立，则实数a的取值范围是(　　 ) A．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C．[9，＋∞) D．(9，＋∞) 解析：C　[x1－x2－ln＞0，即x1－ln x1＞x2－ln x2， 令f(x)＝x－ln x，由题意得f(x)在(1,3]上单调递减，故f′(x)＝1－≤0，即a≥3x在(1,3]上恒成立，则a≥9，故选C.] 　　　同构法构造函数 [例4]　(2023·聊城一模)已知正数x，y满足yln x＋yln y＝ex，则xy－2x的最小值为(　　 ) A.ln 2 B．2－2ln 2 C．－ln 2 D．2＋2ln 2 解析：B　[因为yln x＋yln y＝ex，即yln(xy)＝ex，所以(xy)ln(xy)＝xex，所以ln(xy)e