第三章 第一节 导数的概念及其意义、导数的运算-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

1．处理好以下四个问题 (1)利用导数研究曲线的切线问题． (2)利用导数研究函数的单调性、极(最)值问题． (3)利用导数研究不等式恒成立或证明不等式问题． (4)利用导数研究复杂函数的零点问题． 2．注意以下四个思想方法的应用 (1)函数与方程思想：导数与函数、方程、不等式之间有着密切的联系． (2)转化与化归思想：通过构造函数，将方程、不等式问题转化为函数的极(最)值等问题． (3)数形结合思想：研究函数性质，方程根的个数、不等式的解集等问题． (4)分类讨论思想：研究函数的单调性等问题时，经常需要根据极值点的大小，极值点是否在定义域内进行分类讨论． 第一节　导数的概念及其意义、导数的运算 ★[考试要求] 1．了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数． 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作　f′(x0)　或　　. (2)函数y＝f(x)的导函数f′(x)＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的　斜率　，相应的切线方程为　y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)　. 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝　0　 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝　αxα－1　 f(x)＝sin x f′(x)＝　cos x　 f(x)＝cos x f′(x)＝　－sin x　 f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝　axln a　 f(x)＝ex f′(x)＝　ex　 f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝　f′(x)±g′(x)　； [f(x)g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝　cf′(x)　. 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝　y′u·u′x　，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)． 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) (3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　　) (4)若f(x)＝sin (－x)，则f′(x)＝cos (－x)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(多选)下列求导运算正确的有(　　 ) A．(sin x)′＝cos x　　　 B.′＝ C．(log3x)′＝ D．(ln x)′＝ 解析：AD　[因为(sin x)′＝cos x，′＝－，(log3x)′＝，(ln x)′＝，所以A，D正确．] 3．(2023·晋中1月调研)函数f(x)＝x＋ln x的图象在点(1,1)处的切线方程为　______　. 解析：根据导数的几何意义求得切线方程． f′(x)＝1＋，f′(1)＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 答案：2x－y－1＝0 4．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f(2)＝　________　. 解析：因为f′(x)＝2x＋3f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－2，所以f(x)＝x2－6x，于是f(2)＝－8. 答案：－8 　　　导数的计算 [例1]　(1)(多选)(2023·济南质检)下列求导运算正确的是(　　 ) A.′＝－ B．(x2ex)′＝2x＋ex C.′＝－sin D.′＝1＋ [解析]　AD　[′＝－·(ln x)′＝－，故A正确；(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故B错误；′＝－2sin，故C错误；′＝1＋，故D正确．] (2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′sin x，则f ＝　________　. [解析]　f′(x)＝2x＋f′cos x，∴f′＝＋f′，∴f′＝，∴f ＝＋. [答案]