第三章 第四节 第4课时 隐零点与极值点偏移问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第4课时　隐零点与极值点偏移问题 　　　隐零点 [例1]　(2023·汕头三模)已知函数f(x)＝x－2sin x. (1)求f(x)在(0，π)的极值； (2)证明：函数g(x)＝ln x－f(x)在(0，π)有且只有两个零点． 解析：(1)由f(x)＝x－2sin x，得f′(x)＝1－2cos x，x∈(0，π)， 令f′(x)＝0，得x＝. 当0<x<时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减， 当<x<π时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增， 所以函数f(x)的极小值为f＝－，无极大值． (2)证明：g(x)＝ln x－f(x)＝ln x－x＋2sin x，x∈(0，π)，则g′(x)＝－1＋2cos x， 令φ(x)＝＋2cos x－1，则φ′(x)＝－－2sin x. 当x∈(0，π)时，φ′(x)＝－－2sin x<0，则φ(x)在(0，π)上单调递减， ∵φ＝>0，φ＝－1<0， 所以存在x0∈，使得φ(x0)＝g′(x0)＝0. 当x变化时，g(x)，g′(x)变化如下表： x (0，x0) x0 (x0，π) g′(x) ＋ 0 － g(x) 单调递增 极大值g(x0) 单调递减 而g＝ln－＋>0，g(π)＝ln π－π<lne2－π＝2－π<0， 则g(x0)>g>0，又g＝ln－＋1， 令h(x)＝ln x－x＋1，其中0<x<1， 则h′(x)＝－1＝>0，所以函数h(x)在(0,1)上单调递增， 则h(x)<h(1)＝0，所以h＝ln－＋1<0， 由零点存在定理可知，函数g(x)在(0，π)上有两个零点． 零点问题求解三步曲 (1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围． (2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式． (3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小． 1．(2023·淄博模拟)已知函数f(x)＝x2＋ln x－x(a≠0)． (1)当a＝时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)令F(x)＝af(x)－x2，若F(x)<1－2ax在x∈(1，＋∞)上恒成立，求整数a的最大值. 解：(1)当a＝时，f(x)＝2x2＋ln x－4x， 则f′(x)＝4x＋－4， 可得f′(1)＝1，且f(1)＝2＋ln 1－4＝－2， 即函数f(x)在点(1，－2)处的切线斜率k＝1， 所以函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0. (2)由F(x)＝af(x)－x2＝aln x－(2a＋1)x， 因为F(x)<1－2ax在(1，＋∞)上恒成立， 即aln x－(2a＋1)x<1－2ax在(1，＋∞)上恒成立， 即a<在x∈(1，＋∞)上恒成立， 令h(x)＝，x>1， 可得h′(x)＝， 令t(x)＝ln x－－1(x>1)， 可得t(x)在(1，＋∞)上单调递增， 且t(3)<0，t(4)>0， 所以存在x0∈(3,4)， 使得t(x0)＝ln x0－－1＝0， 从而h(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 所以h(x)min＝h(x0)＝＝＝x0∈(3,4)， 因为a<在(1，＋∞)上恒成立， 所以a<h(x)min＝x0， 所以整数a的最大值为3. 　　　极值点偏移 [例2]　(2023·深圳一模)已知函数f(x)＝2ln x－(a＋1)x2－2ax＋1(a∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)有两个零点x1，x2. (ⅰ)求实数a的取值范围； (ⅱ)求证：x1＋x2＞2. 解析：(1)f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2(a＋1)x－2a＝－， ①当a≤－1时，有f′(x)＞0恒成立，所以(0，＋∞)是函数f(x)的单调增区间，无递减区间； ②当a＞－1时，由f′(x)＞0，解得x∈，由f′(x)＜0，解得x∈，故函数f(x)的增区间，减区间是. 综上：当a≤－1时，函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)；当a＞－1时，函数f(x)的单调增区间，单调减区间是. (2)(ⅰ)由(1)知：当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 函数f(x)不可能有两个零点； 当a＞－1时，因为f(x)在上递增，在上递减， 因为f(x)＝2ln x－(a＋1)x2－2ax＋1＜2ln x－2ax＋1，故f(e－2)＝2ln e－2－＋1＝－3－＜0，设h(x)＝ln x－x＋1，x＞0，则h′(x)＝－1＝，当0＜x＜1时，h′(x)＞0，当x＞1时，h′(x)＜0，故h(x)在x＝1处取得