第三章 第四节 第3课时 利用导数研究函数的零点-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第3课时　利用导数研究函数的零点 　　　利用函数性质研究函数零点 [例1]　(2023·湖北七市(州)3月调研)已知函数f(x)＝ln x＋－2，g(x)＝xln x－ax2－x＋1. (1)证明：函数f(x)在(1，＋∞)内有且仅有一个零点； (2)假设存在常数λ>1，且满足f(λ)＝0，试讨论函数g(x)的零点个数． [解析]　(1)f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，则x＝2 所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 因为f(1)＝0，f(2)＝ln 2－1＜0，f(e2)＝2＋－2＞0，结合单调性，f(x)在(1，＋∞)有且仅有一个零点． (2)令g(x)＝0，即xln x－ax2－x＋1＝0，从而有ax＝ln x－1＋，令φ(x)＝ln x－1＋(x＞0)， 从而g(x)的零点个数等价于y＝ax与φ(x)图象的交点个数． φ′(x)＝－＝，令φ′(x)＝0，得x＝1. 所以φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且φmax(x)＝φ(1)＝0，当a＝0时，y＝ax图象与φ(x)图象有一个交点． 当a＜0时，y＝ax图象经过二、四象限，与φ(x)图象无交点． 当a＞0时，y＝ax图象经过一、三象限，与φ(x)图象至少有一个交点，当y＝ax图象φ(x)图象相切时，设切点横坐标为x0，则有 即有ln x0＋－2＝0，从而x0＝λ， 此时a＝－＝＞0. 所以，当时a＝时，y＝ax图象与φ(x)图象有两个交点； 当0＜a＜时，y＝ax图象与φ(x)图象有三个交点； 当a＞时，y＝ax图象与图象φ(x)有一个交点． 综上所述，当a＜0时，g(x)没有零点；当0＜a＜时，g(x)有三个零点；当a＝，g(x)有两个零点；当a＞或a＝0时，g(x)有一个零点． 判断函数零点个数的3种方法 直接法 令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数 画图法 转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数即可 定理法 利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决 1．(2023·遵义模拟)已知函数f(x)＝ex－x2－(m＋1)x－mln x，(m∈R)，g(x)是f(x)的导函数． (1)若g(x)在(0，＋∞)上单调递增，求m的取值范围； (2)设F(x)＝g(x)－f(x)，证明：当m＝－时，F(x)有且仅有两个零点． 解析：(1)因为g(x)＝f′(x)＝ex－x－－(m＋1)，所以g′(x)＝ex＋－1， 由题意，g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即有ex＋－1≥0，即x2(ex－1)＋m≥0， 令G(x)＝x2(ex－1)＋m，x＞0，所以G′(x)＝2x(ex－1)＋x2ex， 因为x＞0，所以ex－1＞0，x2ex＞0，所以G′(x)＞0， 所以G(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以G(x)＞G(0)＝m，所以m≥0. (2)当m＝－，F(x)＝x2－x－ln x＋－，F′(x)＝， 当0＜x＜1时，F′(x)＜0；x＞1时，F′(x)＞0，所以F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 又F(1)＝－＜0，F＝e2－＋＞0， F(e)＝e2＋－1－e＞2－1－＞0， 所以∃x1∈，∃x2∈(1，e)，使F(x1)＝ F(x2)＝0， 所以当m＝－时，F(x)有且仅有两个零点． 　　　　由函数的零点个数确定参数取值范围 [例2]　(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点处的切线方程； (2)若f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围． 解析：(1)f(x)的定义域为(－1，＋∞)． 当a＝1时，f(x)＝ln(1＋x)＋，f(0)＝0，所以切点为(0,0)，f′(x)＝＋，f′(0)＝2，所以切线斜率为2，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x. (2)f(x)＝ln(1＋x)＋，f′(x)＝＋＝. 设g(x)＝ex＋a(1－x2)， ①若a＞0，当x∈(－1,0)，g(x)＝ex＋a(1－x2)＞0，即f′(x)＞0， 所以f(x)在(－1,0)上单调递增，f(x)＜f(0)＝0， 故f(x)在(－1,0)上没有零点，不合题意． ②若－1≤a≤0，当x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝ex－2ax＞0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以g(x)＞g(0)＝1＋a≥0，即f′(x)＞0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)＞f(0)＝0， 故f(x)在(0，＋∞)上没有零点，不合题意． ③若a＜－1， (ⅰ)当x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝ex－2ax＞0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增． g(0)＝1＋