第三章 第四节 第2课时 利用导数研究恒(能)成立问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第2课时　利用导数研究恒(能)成立问题 　　　不等式恒成立问题 [例1]　(2023·齐齐哈尔一模)已知函数f(x)＝ln x－2ax，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若关于x的不等式f(x)－ln x≤axcos x－sin x在区间(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围． [解析]　(1)因为函数的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－2a，当a≤0时，f′(x)＞0，此时f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调减区间． 当a＞0时，令f′(x)＞0，解得0＜x＜，此时 f(x)的单调递增区间为， 令f′(x)＜0，解得x＞，此时f(x)的单调递减区间为. 综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调减区间； 当a＞0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)不等式f(x)－ln x≤axcos x－sin x在区间(0，＋∞)上恒成立， 即sin x≤2ax＋axcos x在区间(0，＋∞)恒成立， 即－ax≤0在区间(0，＋∞)恒成立． 设g(x)＝－ax，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝－a. g′(0)＝－a，而＝＝－ 令t＝cos x＋2，t∈[1,3]，故∈， 则＝－＝－32＋ ∈， 当a≥时，g′(x)＝－a≤0 (不恒为零)． 即g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减， 所以当x∈(0，＋∞)时，g(x)＜g(0)＝0，符合题意． 当a＜，则g′(0)＝－a＞0， 因为g′(x)的图象是不间断的， 故存在x0∈(0，＋∞)， 使得∀x∈(0，x0)时，总有g′(x)＞0，故g(x)在区间(0，x0)上单调递增， 故∀x∈(0，x0)，总有g(x)＞g(0)＝0，这与题设矛盾． 综上，实数a的取值范围是. [点睛]　含参数的不等式的恒成立问题，注意利用代数变形将较为复杂的不等式转化为相对容易的不等式来处理，后者可结合导数来讨论，注意利用端点的性质来简化讨论． 1．分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 2．求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关” 转化关 通过分离参数法，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对∀x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min) 求最值关 求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题 1．(2023·菏泽一模)已知函数f(x)＝ex－1－ax. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)－x2≥对于任意x≥0恒成立，求实数a的取值范围． 解析：(1)f′(x)＝ex－1－a ①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； ②当a＞0时，令f′(x)＝ex－1－a＝0，x＝1＋ln a， 当x∈(－∞，1＋ln a)时，f′(x)＜0，f(x)在(－∞，1＋ln a)上单调递减； 当x∈(1＋ln a，＋∞)时，f′(x)＞0， f(x)在(1＋ln a，＋∞)上单调递增． (2)由f(x)－x2≥，得ex－1≥x2＋ax＋＝2，对于任意x≥0恒成立， 因此－x－≤≤－x＋， 记h(x)＝－x＋，由h′(x)＝－1＋＝0，得x＝1＋2ln 2， 当x∈[0,1＋2ln 2]时，h(x)单调递减，当x∈[1＋2ln 2，＋∞)时，h(x)单调递增，所以h(x)min＝1－2ln 2，因此a≤2－4ln 2； 记t(x)＝－x－，易知t(x)在[0，＋∞)单调递减，所以t(x)max＝t(0)＝－， 所以a≥－2；综上，－2≤a≤2－4ln 2. 　　　不等式能成立问题 [例2]　(2023·桂林、梧州一模)已知函数f(x)＝x2＋(2a＋2)ln x. (1)当a＝－5时，求f(x)的单调区间； (2)若存在x∈[2，e]，使得f(x)－x2＞2x＋成立，求实数a的取值范围． [解析]　(1)当a＝－5时，f(x)＝x2－8ln x，可知f(x)的定义域为(0，＋∞)， 则f′(x)＝2x－＝，x＞0， 可知当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0； 所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)由题可知，存在x∈[2，e]，使得f(x)－x2＞2x＋成立， 等价于2x＋－(2a＋2)ln x＜0在[2，e]内有解，可设h(x)＝2x＋－(2a＋2)ln x，即在[2，e]上，函数h(x)min＜0， ∴h′(x)＝2－－＝＝， 令h′(x)＝0，即(x＋1)[x－(a＋2)]＝0，解得：x＝a