第三章 第四节 第1课时 利用导数证明不等式-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第四节　导数中的综合问题 ★[考试要求] 不等式证明问题、恒成立问题、函数的零点问题在高考中占有很重要的地位，不等式证明经常与函数的性质、函数的零点与极值等相结合，恒成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等． 第1课时　利用导数证明不等式 　　　将不等式转化为函数的最值问题 [例1]　(2023·郑州模拟)设f(x)＝2xln x＋1. (1)求f(x)的最小值； (2)证明：f(x)≤x2－x＋＋2ln x. [解]　(1)f′(x)＝2(ln x＋1)． 所以当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以当x＝时，f(x)取得最小值f＝1－. (2)证明：x2－x＋＋2ln x－f(x)＝x(x－1)－－2(x－1)ln x＝(x－1)，令g(x)＝x－－2ln x，则g′(x)＝1＋－＝≥0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，所以当0<x<1时，g(x)<0，当x>1时，g(x)>0，所以(x－1)≥0，即f(x)≤x2－x＋＋2ln x. 利用导数证明不等式的方法 证明f(x)<(>)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，即证明F(x)<(>)0； 如果f(x)在(a，b)上的最大值小于0(最小值大于0)，那么即证明f(x)<(>)g(x)，x∈(a，b)． 其一般步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论． 1．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1. 解：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a(x∈R)， 知f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 当x<ln 2时，f′(x)<0，故函数f(x)在区间 (－∞，ln 2)上单调递减； 当x>ln 2时，f′(x)>0，故函数f(x)在区间 (ln 2，＋∞)上单调递增． 所以f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a，无极大值． (2)证明：要证当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1，即证当a>ln 2－1且x>0时，ex－x2＋2ax－1>0.设g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x>0)．则g′(x)＝ex－2x＋2a，由(1)知g′(x)min＝g′(ln 2)＝2－2ln 2＋2a.又a>ln 2－1，则g′(x)min>0. 于是对∀x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增．于是对∀x>0，都有g(x)>g(0)＝0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1. 　　　　将不等式转化为两个函数的最值进行比较 [例2]　(2023·襄阳质检)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. [解]　(1)f′(x)＝－a(x>0)， ①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②若a>0，则当0<x<时，f′(x)>0，当x>时，f′(x)<0，故f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)证明：方法一：因为x>0，所以只需证f(x)≤－2e，当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－e. 令g(x)＝－2e(x>0)，则g′(x)＝，所以当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝－e. 综上，当x>0时，f(x)≤g(x)，即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0. 方法二：由题意知，即证exln x－ex2－ex＋2ex≤0，从而等价于ln x－x＋2≤.设函数m(x)＝ln x－x＋2，则m′(x)＝－1.所以当x∈(0,1)时，m′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，m′(x)<0，故m(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而m(x)在(0，＋∞)上的最大值为m(1)＝1.设函数h(x)＝，则h′(x)＝.所以当x∈(0,1)时，h′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(1)＝1.综上，当x>0时，m(x)≤h(x)，即xf(x)－ex＋2ex≤0. 将待证不等式转化为两个函数的