第三章 第三节 导数与函数的极值、最值-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第三节　导数与函数的极值、最值 ★[考试要求] 1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值． 1．函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧　f′(x)<0　，右侧　f′(x)>0　，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧　f′(x)>0　，右侧　f′(x)<0　，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为　极值点　，极小值和极大值统称为　极值　. 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条　连续不断　的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的　极值　； ②将函数y＝f(x)的各极值与　端点处的函数值f(a)，f(b)　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(　　) (2)函数的极小值一定是函数的最小值．(　　) (3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(　　) (4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　 ) A．1　 B．2　　C．3　　D．4 解析：A　[由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．] 3．函数y＝x＋(x＜0)的极大值为(　　 ) A．－2 B．2 C．－ D．不存在 解析：A　[y′＝1－＝.令y′＝0得 x＝－1或x＝1(舍)． 由于x＜0，当y′＞0时，x＜－1，当y′＜0时，－1＜x＜0， 所以函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,0)上单调递减． 故函数在x＝－1处取得极大值y＝－2.故选A.] 4．函数f(x)＝ex－2x在[1，e]上的最小值为　___________　. 解析：因为f′(x)＝ex－2，当x∈[1，e]时，f′(x)＝ex－2＞0，所以f(x)在[1，e]上单调递增， 所以f(x)min＝f(1)＝e－2. 答案：e－2 　　　利用导数求解函数极值问题 ►[角度1]　根据函数图象判断极值　 [例1]　(2023·广州模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　 ) A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3) B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3) C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3) D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3) [解析]　D　[由题图知，当x∈(－∞，－3)时， y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减． 所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．] ►[角度2]　求已知函数的极值　 [例2]　已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值． [解]　因为f(x)＝x2－1－2aln x(x＞0)， 所以f′(x)＝2x－＝. ①当a＜0时，因为x＞0，且x2－a＞0，所以f′(x)＞0对x＞0恒成立．所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值． ②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)． 所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，) (，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 极小值 单调递增 所以当x＝时，f(x)取得极小值，且f()＝()2－1－2aln＝a－1－aln a，无大极值． 综上，当a＜0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值． 当a＞0时，函数f(x)在x＝处取得极小值a－1－aln a，无极大值． ►[角度3]　已知极值(点)求参数　 [例3]　(1)