第九章 第三节 成对数据的统计分析-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第三节　成对数据的统计分析 ★[考试要求] 1．了解样本相关系数的统计含义.2.理解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题.3.会利用统计软件进行数据分析． 1．变量的相关关系 (1)相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． (2)相关关系的分类：正相关和负相关． (3)线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在　一条直线　附近，我们就称这两个变量线性相关． 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 2．样本相关系数 (1)相关系数r的计算 变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下： (2)相关系数r的性质 ①当r>0时，称成对样本数据　正　相关；当r<0时，成对样本数据　负　相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系． ②样本相关系数r的取值范围为　[－1,1]　. 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越　强　； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越　弱　. 3．一元线性回归模型 (1)经验回归方程与最小二乘法 我们将＝＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中 (2)利用决定系数R2刻画回归效果 R2＝1－，R2越　大　，即拟合效果越好，R2越　小　，模型拟合效果越差． 4．列联表与独立性检验 (1)2×2列联表 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 x y 合计 y＝y1 y＝y2 x＝x1 a b a＋b x＝x2 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d (2)临界值 χ2＝.忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立．我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准． (3)独立性检验 基于小概率值α的检验规则是： 当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立． 这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． 下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 1．求解经验回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用线性回归直线过样本点的中心(，)． 2．根据经验回归方程计算出的值，仅是一个预测值，并不是真实发生的值． 3．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．(　　) (2)经验回归直线 ＝ ＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．(　　) (3)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．(　　) (4)若分类变量X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越小．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．下面是一个2×2列联表： y1 y2 总计 x1 a 21 73 x2 22 25 47 总计 b 46 120 其中a，b处填的值分别为(　　 ) A．94　72　　　　　 B．52　50 C．52　74 D．74　52 解析：C　[由a＋21＝73，得a＝52，a＋22＝b，得b＝74.故选C.] 3．(多选)(教材习题改编)在统计中，由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)利用最小二乘法得到两个变量的经验回归方程为＝x＋，那么下列说法正确的是(　　) A．相关系数r不可能等于1 B．直线＝x＋必经过点(，) C．直线＝x＋表示最接近y与x之间真实关系的一条直线 D．相关系数为r，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小 解析：BCD　[相关系数的取值范围是|r|≤1，故A错；直线＝x＋必过样本点中心即点(，)，故B正确；直线＝x＋是采用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故C正确；相关系数r的绝对值越接近于1，表示相关程度越大，越接近于