第二章 热点强化课1 函数性质的综合应用-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

强化课1　函数性质的综合应用 ★[考试要求] 函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查． 　　　函数的单调性与奇偶性 [例1]　已知函数f(x－1)是偶函数，f(x)在区间[－1，＋∞)内单调递减，f(－3)＝0，则不等式f(x)·ln|x＋1|>0的解集为(　　) A．(－3，－1)∪(1，＋∞) B．(－3，－2)∪(0,1) C．(－∞，－2)∪(－1,1) D．(－1,0)∪(1，＋∞) [解析]　B　[由f(x－1)是偶函数知f(x)的图象关于直线x＝－1对称， 再根据f(x)在区间[－1，＋∞)内单调递减和f(－3)＝0知： f(x)在区间(－∞，－1)内单调递增，f(1)＝0， 则函数y＝f(x)和y＝ln|x＋1|的大致图象如图所示， 由图象可知：当x∈(－3，－2)∪(0,1)时，f(x)>0，ln|x＋1|>0，f(x)·ln|x＋1|>0，故f(x)·ln|x＋1|>0的解集为(－3，－2)∪(0,1)．故选B.] (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)． (2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小． 1．(2023·扬州、盐城、南通联考一)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，f(2)＝0，则不等式f(x－1)f(x)<0的解集是(　　) A．(－2,2)　　　　 B．(－∞，－2)∪(1,2) C．(－∞，－1)∪(0,3) D．(－2，－1)∪(2,3) 解析：D　[因为函数是偶函数，在(－∞，0]上是减函数，所以函数在(0，＋∞)上是增函数，f(－2)＝f(2)＝0，－2<x<2时，f(x)<0，f(x－1)f(x)<0， 则或. 当时，，得2<x<3时；当时，，此时－2<x<－1.故选D.] 　　　函数性质奇偶性与周期性 [例2]　已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，若y＝f的最小正周期为2，则下列说法一定正确的是(　　) A．f＝f B．1是f(x)的一个周期 C．f＝f＝0 D．f＋f＝1 [解析]　C　[y＝f(x＋1)的最小正周期是2，则y＝f(x)的最小正周期是2，B错；∵f(－1)＝－f(1)，又f(－1)＝f(1)，∴f(1)＝f(－1)＝0，C正确；若f＝f，又f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x－1)＝f(－x＋1)，令x－1＝t，则有f(t)＝f(－t)，因此f(x)是偶函数，与题意不符，A错；f＝f＝－f，∴f＋f＝0，D错．故选C.] 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 2．(多选)(2023·南京模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点对称．以下关于f(x)的结论正确的有(　　) A．f(x)是周期函数 B．f(x)满足f(x)＝f C．f(x)在上单调递减 D．f(x)＝cos是满足条件的一个函数 解析：ABD　[对于A：∵f(－x)＝f(x)，其图象关于点对称，即f(x＋2)＝－f(x) 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期函数且其周期为4，故A正确；对于B：由A知，对于任意的x∈R，都有f(x)满足f(－x)＝f(4－x)，又函数是偶函数，即f(x)＝f(4－x)，故B正确；对于C：反例：如图所示的函数，关于y轴对称，图象关于点对称，函数的周期为4，但是f(x)在上不是单调函数，故C不正确； 对于D：f(x)＝cos是定义域为R，且f(－x)＝cos＝cos＝f(x)， f(x＋2)＝cos＝cos＝－cos＝－f(x)， 所以f(x)＝cos是定义域为在R上的偶函数，其图象关于点对称的一个函数，故D正确．故选ABD.] 　　　函数的奇偶性与对称性 [例3]　(多选)(2023·长沙质检)已知偶函数f(x)满足：f＝f，且当0≤x≤2时，f(x)＝2x－2，下列说法正确的是(　　) A．点是f(x)图象的一个对称中心 B．－2≤x≤0时，f(x)＝x－2 C．对任意x1，x2，都有≤2 D．f(x)在区间上有10个零点 [解析]　BD　[A选项，f(0)＝－1，f(2)＝2≠－f(0)，所以点不是f(x)图象的一个对称中心，A不正确；B选项，因为f(x)是偶函数，所以－2≤x≤0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－2＝x－2，B正确；D选项，f＝f＝f(x－2)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f(－1)＝f(1)＝0，所以每个