第二章 第四节 函数的对称性-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第四节　函数的对称性 ★[考试要求] 1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论，2.会利用对称公式解决问题． 1．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于　原点　对称，偶函数关于　y　轴对称． (2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为　x＝－2　；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为　(－2,0)　. 2．若函数y＝f(x)关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数关于点　(a,0)　对称． 3．两个函数图象的对称 ①函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于　y　轴对称； ②函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于　x　轴对称； ③函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于　原点　对称； (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝1对称．(　　) (2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(1,0)对称．(　　) (3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1) ＝0，则f(x)关于y轴对称．(　　) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于对称(　　) A．x轴　　　　　 B．y轴 C．坐标原点 D．不能确定 解析：B　[函数y＝f(x)上的点(x，y)关于y轴对称点为(－x，y)，∵点(－x，y)在函数y＝f(－x)上， ∴y＝f(x)与y＝f(－x)图象关于y轴对称．故选B.] 3．(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(－x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则(　　) A．f(－1)<f(0) B．f(－1)>f(0) C．f(0)＝f(2) D．f(0)<f(2) 解析：BC　[因为定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(－x)，所以函数f(x)关于x＝1对称，所以f(0)＝f(2)＝ln 2，故C正确，D错误；f＝f(3)＝ln 3，所以f>f，故A错误，B正确．故选BC.] 4．函数f(x)＝图象的对称中心的坐标为　________　. 解析：由题意得f(x)＝＝＝－＋1，因为y＝－对称中心为，所以函数f(x)的对称中心为(－1,1)． 答案：(－1,1) 　　　轴对称 [例1]　(1)下列函数与y＝ex关于x＝1对称的是(　　) A．y＝e.x－1　　　　 B．y＝e1－x C．y＝e2－x D．y＝ln x [解析]　C　[f(x)＝ex关于x＝1对称的是f＝e2－x，即y＝e2－x.故选C.] (2)已知函数y＝f为偶函数，当x>1时，f(x)＝log2x＋x－7，则f(－2)＝(　　) A．－6　　 B．－4　　　C．－2　　　D．－1 [解析]　D　[因为函数y＝f为偶函数，所以f＝f，所以函数的对称轴为x＝1，即f(－2)＝f，因为x>1时，f(x)＝log2x＋x－7，所以f(－2)＝f＝log24＋4－7＝2－3＝－1.故选D.] 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)， 则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称． 1．(多选)(2023·济宁模拟)已知函数f(x)对∀x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，f(2－x)＝f(x)，且f(1)＝1，则(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(－2,0)中心对称 C．f(6)＝0 D．f(5)＝－1 解析：BC　[因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，又因为f(2－x)＝f(x)，所以f(x)关于x＝1对称，所以f(2－x)＝－f(－x)，令x等价于－x，所以f(2＋x)＝－f(x)，再令x等价于x＋2，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的周期为4，由f(x)＝f(x＋4)，f(－x)＝－f(x)可得：－f(－x)＝f(x＋4)，所以f(x)的图象关于(2,0)对称，故A不正确；又因为f(x)的图象关于(2,0)对称，f(x)的周期为4，所以f(x