第二章 第七节 对数与对数函数-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第七节　对数与对数函数 ★[考试要求] 1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 1．对数 概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的　对数　， 记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1) loga1＝0，logaa＝1，＝　N　(a>0，且a≠1) 运算法则 loga (MN)＝　logaM　＋　logaN　 a>0，且a≠1， M >0，N>0 loga＝　logaM　－　logaN　 logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) [注意]　在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)． 2．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图 象 性 质 定义域：　(0，＋∞)　 值域：R 过定点　(1,0)　 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是　增函数　 在(0，＋∞)上是　减函数　 [注意]　y＝logax(a>0且a≠1)的图象只在第一、四象限．在直线x＝0的右侧． 3．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数　y＝logax　(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线　y＝x　对称． 1．logab·logba＝1，logambn＝logab. 2．如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　) (3)函数y＝loga与函数y＝ln(1＋x)－ln(1－x)是同一个函数．(　　) (4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　 ) 解析：B　[函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，函数y＝logax的图象与y＝ax的图象关于y＝x对称，分析图象可知符合条件的只有B项，故选B.] 3．计算：lg－＋lg 7＝　________　. 解析：原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝. 答案： 4．函数f(x)＝loga(x＋2)－2(a>0，且a≠1)的图象必过定点　________　. 解析：由loga1＝0(a>0且a≠1)知，f(－1)＝loga(－1＋2)－2＝0－2＝－2.所以函数f(x)的图象必过定点(－1，－2)． 答案：(－1，－2) 　　　对数式的运算 [例1]　(1)(多选)下列运算错误的是(　　 ) A．210＋0.25＝2 B．log427×log258×log95＝ C．lg 2＋lg 50＝10 D．log(2＋)(2－)－(log2)2＝－ [解析]　ABC　[对于A,210＋0.25＝ (102×0.25)＝52＝－2，A错误；对于B，log427×log258×log95＝××＝＝，B错误；对于C，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2，C错误；对于D，log(2＋)(2－)－(log2)2＝－1－2＝－，D正确．故选ABC.] (2)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝　________　. [解析]　因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，所以m＝. [答案]　 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 1．lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(