第二章 第九节 函数的零点与方程的解-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时教师用书word（新教材，人教A版）

第九节　函数的零点与方程的解 ★[考试要求] 1．理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解． 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，我们把使　f(x)＝0　的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有　零点　⇔函数y＝f(x)的图象与　x轴　有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有　f(a)f(b)<0　，那么，函数y＝f(x)在区间　(a，b)　内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得　f(c)＝0　，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且　f(a)f(b)<0　的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间　一分为二　，使所得区间的两个端点逐步逼近　零点　，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根． (5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　) (2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　 ) A．(1,2)　　　　 B．(2,3) C.和(3,4) D．(4，＋∞) 解析：B　[因为f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0，所以f(2)·f(3)<0，且函数f(x)的图象连续不断，f(x)为增函数，所以f(x)的零点在区间(2,3)内．] 3．设函数f(x)＝2|x|＋x2－3，则函数y＝f(x)的零点个数是(　　 ) A．4　B．3　　C．2　　D．1 解析：C　[函数f(x)＝2|x|＋x2－3的零点个数，即函数y＝2|x|的图象与函数y＝3－x2的图象的交点个数．作出函数y＝2|x|与函数y＝3－x2的图象如图所示， 由图可知函数y＝f(x)的零点个数是2.故选C.] 4．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是　________　. 解析：二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1.若在区间(0,4)上存在零点，只需所以解得－8<m≤1. 答案：(－8,1] 　　　函数零点所在区间的判定 [例1]　(1)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为(　　 ) A．(0,1)　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) [解析]　C　[∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，故f(x)在(2,3)上有唯一零点，故选C.] (2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　 ) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 [解析]　A　[函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．] 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 1．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f