第1篇 第2讲 选择题和填空题的解法(Word教参)-【衡中学案】2023老高考数学二轮总复习(老教材)

第2讲　选择题和填空题的解法 对应学生用书学案(文P6)(理P7) 关键能力解读 数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等． 技法技巧突破 方法一　直接法 直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法． 典例1　(1)(2022·榆林二模)已知||＝||＝2，||＝1，则|＋3|(　B　) A．2 B．4 C． D． 【解析】　由题意，可得||＝||＝|－|， 即2＝(－)2＝2－2·＋2， 又||＝2，||＝1， 代入可得4＝1－2·＋4， 解得·＝， 所以|＋3|＝＝＝＝4，故选B． (2)(2022·河南模拟)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆过线段OF2的中点，则双曲线C的离心率是____． 【解析】　由题意可知：渐近线方程为y＝±x， 由焦点F2(c,0)，c2＝a2＋b2，以F2为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切， 则圆的半径r等于圆心到切线的距离， 即r＝＝b， 又该圆过线段OF2的中点，故＝r＝b， 所以离心率为＝＝＝． 故答案为． 【规律方法】　直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解选择题、填空题的关键． 方法二　特例法 从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等． 典例2　(1)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　C　) A．20 B．15 C．9 D．6 【解析】　若四边形ABCD为矩形，建系如图，由＝3，＝2， 知M(6,3)，N(4,4)， 所以＝(6,3)，＝(2，－1)， 所以·＝6×2＋3×(－1)＝9． (2)设椭圆C：＋＝1的长轴的两端点分别是M，N，P是C上异于M，N的任意一点，则直线PM与PN的斜率之积等于__－__． 【解析】　取特殊点，设P为椭圆的短轴的一个端点(0，)，又M(－2,0)，N(2,0)， 所以kPM·kPN＝×＝－． 【规律方法】　特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理； 第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解． 方法三　排除法 排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项． 典例3　(1)(2022·河南模拟)函数f(x)＝的图象大致是(　A　) 【解析】　函数的定义域为R，排除B，D，当x＞0且x→＋∞，f(x)＜0，且f(x)→0，排除C，故选A． (2)(2022·河北石家庄一模)设函数f(x)＝若f(x0)＞3，则x0的取值范围为(　C　) A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0,2) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1,3) 【解析】　取x0＝1，则f(1)＝＋1＝＜3，故x0≠1，排除B、D；取x0＝3，则f(3)＝log2 8＝3，故x0≠3，排除A，故选C． 【规律方法】　排除法使用要点：(1)从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其他选项． (2)当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特值(例)法、验证法等常结合使用． 方法四　构造法 用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化． 典例4　(1)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，