热点强化课9 第1课时 第1课时 最值、范围、证明问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，北师大版）

热点强化课9　圆锥曲线的综合问题 第1课时　最值、范围、证明问题 [能力提升组] 1．(2023·全国模拟)如图，已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD.求四边形面积的最小值． 解：当直线BD斜率k存在且不为0时，设BD方程为：y＝k(x＋1)，联立⇒(3k2＋2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0， 设B(x1，y1)，D(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， 由弦长公式可得|BD|＝|x1－x2|＝＝； 因为AC⊥BD，故kAC＝－，进而可得|AC|＝＝， 所以四边形的面积为 S＝·＝××＝， 因为(2k2＋3)(3k2＋2)≤2， 即(2k2＋3)(3k2＋2)≤， S＝≥＝，当且仅当2k2＋3＝3k2＋2⇒k2＝1时，等号成立， 当直线BD斜率不存在或者为0时，此时四边形的面积为S＝·＝×2a×＝2b2＝4>， ∴四边形面积的最小值为. 2．(2023·沈阳市质检)已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)过点A(2,1)，且它的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，椭圆上的点到焦点F的最小值为2. (1)求抛物线C1和椭圆C2的标准方程； (2)设M，N是抛物线C1上的两个动点，且·＝－4. ①求证：直线MN必过定点，并求定点Q坐标； ②直线MN交椭圆C2于R、S两点，当S△FSR最大时，求直线MN的方程． 解：(1)把A(2,1)代入抛物线C1可得4＝2p，p＝2. ∴抛物线C1的方程为x2＝4y.故F(0,1)， 又F(0,1)是椭圆C2：＋＝1的焦点，且椭圆上的点到焦点F的最小值为2， ∴，解得 ∴椭圆C2的标准方程为＋＝1. (2)证明：①∵直线MN与抛物线交于M，N两点， ∴直线MN斜率必存在． 设直线MN的方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)， N(x2，y2)， 联立方程组，消去y可得 x2－4kx－4m＝0， ∴x1x2＝－4m，∴y1y2＝·＝m2， ∴·＝x1x2＋y1y2＝m2－4m＝－4，即m＝2. ∴直线MN的方程为y＝kx＋2.∴直线MN过定点Q(0,2)． ②联立方程组，消去y可得： (9＋8k2)x2＋32kx－40＝0， 设R(x3，y3)，S(x4，y4)，则x3＋x4＝－， x3x4＝－， ∴|RS|＝＝ ， 又F(0,1)到直线MN的距离d＝， ∴S△FSR＝×|RS|×d＝， 令＝t，则t≥，∴S△FSR＝＝， 由对勾函数的性质可知当t＝时，S△FSR取得最大值，此时k＝0. ∴直线MN的方程为y＝2. 3．(2023·浙江海亮高级中学模拟)已知抛物线C的焦点是，如图，过点D(t≤0)作抛物线C的两条切线，切点分别是A和B，线段AB的中点为M. (1)求抛物线C的标准方程； (2)求证：直线MD∥y轴； (3)以线段MD为直径作圆，交直线AB于MN，求的取值范围． 解:(1)设抛物线的方程为x2＝2py(p＞0)， 由题意可得＝，所以p＝，所以抛物线方程y＝x2. (2)由(1)y＝x2，因为y′＝2x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线AD的方程为y＝2x1x－x，直线BD的方程为y＝2x2x－x， 联立上述两直线方程，得D点坐标D， 又因为M点为线段AB的中点，所以M点坐标M， 因为xD＝xM，所以直线MD∥y轴． (3)因为点D(t≤0)，所以＝，x1x2＝t，则M，圆心， 直线AB的斜率为k＝＝x1＋x2＝，直线AB方程为y＝x－t， ，得x2－x＋t＝0，Δ＝2－4t，|AB|＝·＝. 圆心到直线AB的距离为d＝，半径r＝＝， |MN|＝2＝(1－2t)，令＝m≥1，＝＝－1＋在m≥1时单调递减，∈. 4．(2023·湖北省模拟)已知椭圆T：＋＝1(a>b>0)的一个顶点A(0,1)，离心率e＝，圆C：x2＋y2＝4，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM，PN. (1)求椭圆T的方程； (2)求证：PM⊥PN. 解：(1)由题意可知b＝1，＝，即2a2＝3c2，又a2＝b2＋c2，联立解得a2＝3，b2＝1. ∴椭圆方程为＋y2＝1. (2)法一：①当P点横坐标为±时，纵坐标为±1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM⊥PN. ②当P点横坐标不为±时，设P(x0，y0)，则x＋y＝4，设kPM＝k，PM的方程为y－y0＝k(x－x0)， 联立方程组消去y得(1＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3k2x－6kx0y0＋3y－3＝0， 依题意Δ＝36k2(y0－kx0)2－4(1＋3k2)(3k2x－6kx0y0＋3y－3)＝0，化简得(3－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0， 又kPM，kPN为方程的两根，所以kPM·kPN＝＝＝＝－1. 所以PM