12.2 证明（第3课时 与三角形内角和定理有关的证明）（课件）-2022-2023学年七年级数学下册同步精品课件（苏科版）

第十二章 ·证　明　 12.2　证　明 第3课时　与三角形内角和定理有关的证明 1 1.会应用平行线的性质证明三角形内角和定理以及推论，并能简单运用这些结论; 2.初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力. 学习目标 2 证明与图形有关的命题的步骤是什么？ （1）根据命题，画出图形； （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证； （3）写出证明过程. 知识回顾 3 在前面第七章我们学过三角形的内角和等于180°. 如何证明这个定理呢？ 知识回顾 还记得小学是如何验证这个定理的吗？ 3 2 3 1 平角：180° 你能受到什么启发？ 4 证明：三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. 新知探究 问题1 这个命题的条件是什么？结论是什么？ 问题2 你能根据命题的条件画出相应的图形吗？ 问题3 结合图形，你能写出已知、求证吗？ A B C 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 5 证明：三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. 新知探究 问题4 结合上面的拼图过程，思考怎样将∠A、∠B、 ∠C“搬”到一起？ 可以通过画平行线 实现拼图中的“搬” 角. 如何画平行线？你能想到几种添加辅助线的方法？ F E A B C D 问题5 添加的这些辅助线有什么相同点和不同点？ M 不同点：取点不同； 相同点：过点作三边的平行线. 6 证明：三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. 新知探究 F E A B C 证法1：如图，画△ABC的边BC的延长线CD，过点C画CE∥AB. ∵CE∥AB (辅助线画法)， ∴∠1=∠A (两直线平行,内错角相等)， ∠2=∠B (两直线平行,同位角相等). ∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义)， ∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换). 7 证明：三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. 新知探究 D 1 2 证法2：如图，过点C作CD∥AB. ∵ CD∥AB(辅助线画法)， ∴∠B=∠1，∠A=∠2(两直线平行,内错角相等). ∵∠1+∠ACB+∠2=180 °(平角的定义) ∴∠B+∠ACB+∠A=180 °(等量代换). A B C 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. 8 新知探究 思考：三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角有怎样的数量关系？ D A B C ∴∠A+∠B=180°－∠ACB(等式性质). ∴∠ACD=180°－∠ACB(等式性质). ∴∠ACD=∠A+∠B(等量代换). 解：∵∠A+∠B +∠ACB =180°(三角形三个内角的和等于180°), ∵∠ACD +∠ACB =180°(平角的定义), 如图，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD与∠A、∠B之间有怎样的数量关系？ 像这样，由一个定理直接退出的正确结论,叫做这个定理的推论，也可以直接作为证明的依据. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形内角和定理的推论 符号语言： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 新知归纳 9 新知巩固 1.如图，若∠A=70°， ∠B=40°，则∠ACD=___________; 2.如图，若∠ACD=115°， ∠A=65°，则∠B=__________. D A B C 110° 50° 10 例题讲解 例1　已知：如图, AB、CD相交于点O.求证: ∠A＋∠B＝∠C＋∠D. 证明：在△ABO中， ∠ A+∠B+∠AOB=180° (三角形三个内角的和等于180°). ∴ ∠A+∠B=180 ° -∠AOB (等式性质). 在△CDO中，同理可得 ∠C+∠D =180 ° -∠COD ∵ ∠ AOB = ∠COD (对顶角相等)， ∴ ∠A+∠B=∠C+∠D (等量代换). C B A D O 能不能利用三角形内角和定理的推论证明呢？ 11 例题讲解 例1　已知：如图, AB、CD相交于点O.求证: ∠A＋∠B＝∠C＋∠D. 证明：∵ ∠AOD是△AOB的一个外角(已知) ∴ ∠AOD=∠A+∠B(三角形内角和定理的推论 ) 同理可得 ∠AOD=∠C+∠D ∴ ∠A+∠B=∠C+∠D (等量代换). C B A D O 对顶三角形模型(8字型) 变式1：如图, ∠A与∠B的和等于∠OCD与∠ODC的和吗？为什么？ C B A D O 共顶三角形模型(A字型) 12 例题讲解 变式2：如图,D、E两点在∠BAC的内部,B、F、E、M四点在同一直线上, 求：∠A+∠ABF+∠ACD+∠D+∠DEF的度数. C B A D M