第八章 第七节 抛物线-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教A版）

第七节　抛物线 [基础巩固练] 1．抛物线x2＝y的焦点到准线的距离是(　　 ) A．2　　B．1　　　C.　　　D. 解析：D　[抛物线标准方程x2＝2py(p>0)中p的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，由x2＝y得p＝.] 2．(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 解析：B　[易知抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，于是有|BF|＝2，故|AF|＝2，注意到抛物线通径2p＝4，通径为抛物线最短的焦点弦，分析知AF必为半焦点弦，有AF⊥x轴，则|AB|＝＝2.] 3．过抛物线x2＝my(m＞0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的纵坐标为4，|PQ|＝m，则m＝(　　 ) A．6 B．8 C．10 D．12 解析：B　[设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝8，由抛物线的定义可知|PQ|＝y1＋y2＋＝m，解得m＝8，故选B.] 4．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C∶y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　 ) A. B. C．(1,0) D．(2,0) 解析：B　[将x＝2与抛物线方程y2＝2px联立，可得y＝±2，不妨设D(2,2)，E(2，－2)，由OD⊥OE，可得·＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x.其焦点坐标为.] 5．(多选)已知点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率为k，且k>0，A，C两点在x轴上方．则下列结论中一定正确的是(　　 ) A.·＝－p2 B．四边形ACBD面积的最小值为16p2 C.＋＝ D．若|AF|·|BF|＝4p2，则直线CD的斜率为－ 解析：ACD　[设直线AB的倾斜角为θ，0<θ<，k＝tan θ，则有|AB|＝，|CD|＝＝，所以＋＝，故C正确； |AF|＝，|BF|＝，若|AF|·|BF|＝4p2，则sin2θ＝，又0<θ<，则sin θ＝，tan θ＝，则直线CD的斜率为－，故D正确； S四边形ACBD＝|AB||CD|＝＝≥8p2，故B不正确； 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由抛物线焦点弦的性质可知，x1x2＝，y1y2＝－p2，则·＝x1x2＋y1y2＝－p2，故A正确．] 6．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________. 解析：因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1,0)，因为|MF|＝6，所以xM＋＝6，解得xM＝5，故yM＝±2，所以S△FMN＝×(5－1)×2＝4. 答案：5　4 7．已知直线l是抛物线y2＝2px(p＞0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相切，则抛物线的方程为_____________________________________________． 解析：∵半径为3的圆与抛物线的准线l相切，∴圆心到准线的距离等于3，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋＝3，∴p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x. 答案：y2＝8x 8．直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝______，＋＝________. 解析：由＝1，得p＝2. 当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与y2＝4x 联立解得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，所以＋＝＋＝1； 当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1， ＋＝＝＝＝＝1. 综上，＋＝1. 答案：2　1 9．过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2. (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程． 解：(1)抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，焦点为F. ∵当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，∴1＋＝2，解得p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y. (2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上， ∴y0＝＝1. 设直线l的方程为y＝kx＋1. 由得x2－4kx－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，＝(x1＋2，y1－1)，＝(x2＋2，y2－1)．∵MA⊥MB，∴·＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋